第七次作业

计算物理 郭忠智2014301020087

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【摘要】 本文主要以计算物理课本上的非线性摆的混沌现象为背景，画出了角度和角速度的变化关系图，并通过模拟闪光灯显示的方法，画出我们想要的特定时刻角速度和角度的对应关系图，通过这些图形我们可以明白，混沌现象中质点位置并不是完全随机的，而是平均值符合一定的规律，具体到某一点有相对涨落，这些图形可以帮助我们对物理规律进行比较直观的认识，因而也显得至关重要。

1 背景

问题的引入：
Problem3.12. In constructing the Poincare section in Figure3.9 we plotted points only at times that were in phase with the drive force;that is at times $t\approx 2\pi n/ \Omega_D$,where $n$ is an integer.At these values of $t$ the driving force passed through zero.However,we could just as easily have chosen to make the plot at times corresponding to a maximum of the drive force,or at times $\pi/4$ out-of-phase with this force,etc.Construct the Poincare sections for these cases and compare them with Figure3.9.

2 正文

这是有驱动力的非线性单摆的混沌问题

当$\theta \approx0$时，单摆的运动可以得到一个简谐运动解，而当$\theta$继续增大，上述近似不成立，我们考虑空气阻力和加上驱动力，得到运动的微分方程为：

$$\frac{d^2 \theta}{dt^2}=-\frac gl sin {\theta}-q \frac{d \theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt) \tag1$$
引入角速度$w$,改写方程：
$$\frac{d w}{dt}=-\frac gl sin {\theta}-q \frac{d \theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt) \tag{2.1}$$
$$\frac{d\theta}{dt}=w\tag{2.2}$$
用Ouler-Cromer方法进行数值计算：
$$w_{i+1}=w_i-\frac gl sin {\theta}_i-q w_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)\tag{3.1}$$
$$\theta _{i+1}=\theta_i+w_{i+1}\Delta \tag{3.2}t$$
$$t_{i+1}=t_i+\Delta t\tag{3.3}$$

确定参数值$g=l=9.8,q=1/2,\theta(0)=0.2,w(0)=0,\Omega_D=2/3$
用python进行计算，代码如下：

Problem3.12代码

运行程序给出如下结果：

（一）每个时刻角度和角速度的变化关系曲线

图1和图2为$F-D=0.5,1.2$时的计算结果：

图1

图2

（二）特定时刻角度和角速度的变化关系曲线

（1）驱动力为0的时刻，令即$t\approx 2\pi n/ \Omega_D$,结果如下：

图3

图4

（2）驱动力仍为0，但相位相反的另一时刻，令$t\approx (2n+1)\pi/ \Omega_D$,得到如下曲线：

图5

图6

（3）驱动力为最大值的时刻，即$t\approx (2n+\frac 12)\pi/ \Omega_D$,结果为：

图7

图8

（4）驱动力的相位为$\pi/4$时，即$t\approx (2n+\frac 14)\pi/ \Omega_D$,结果为：

图9

图10

3 结论

由以上的计算结果可以看到，当驱动力的振幅为$F_D=0.5$时，$w$和$\theta$的关系相对稳定，即当取特定时间时，基本上能确定在一定的角度上的角速度大小，而当驱动力增大到1.2，这时特定时刻的角度和角速度对应关系较为负杂，这时对应为出现混沌现象的情况，不能唯一地确定角度和角速度的关系，但是也可以看到，这些特定时刻的的角度和角速度的关系始终按一定的规律在变化，并不是完全随机的，这便是混沌现象的性质。

4 致谢

参考文献：
[1]Nicholas J.Giordano,Hisao Naknishi.Computational Physics(Second Edition).
[2]Brad Miller, David Ranum, Jeffrey Elkner, Peter Wentworth, Allen B. Downey, Chris Meyers, and Dario Mitchell. How to think like a computer scientist—— Learning with Python: Interactive Edition 2.0.