第十二次作业

计算物理 2014301020087

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1 摘要

本次作业完成了拉普拉斯方程的数值求解，具体而言，给定边界条件，求解中空棱柱里的电势分布，其中放置一个棱柱形的金属块，保持金属块表面和棱柱表面的电势恒定，分别为1V、0V，用雅可比方法完成了电势的求解，并画出了电势和电场的分布图,同样的方法可以解决平行电容在其所在平面上产生的电势问题，在作业中我们给出了解答。

2 前言

Solve for the potential in hte prism geometry in Figure5.4.

3 正文

在这个问题中，我们假设在z方向上棱柱和金属块时无限延伸的，所以电势分布我们考察平行于x-y平面的某个面即可，电势分布应和z无关。对于中空的部分，因为其中没有电荷，所以描述电势分布用拉普拉斯方程：

$$\cfrac{\partial^2V}{\partial x^2}+\cfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=0$$
用雅可比方法，可以将问题的解写为： $$V(i,j)=\cfrac 14 [V(i +1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)\\+V(i,j-1,k)]$$
在程序中，将上式得左边当作下一步骤的结果，而右边当作此时已经计算出来的结果，这样就可以一步一步的将结果计算出来。
即 $$V_{n+1}(i,j)=\cfrac 14 [V_n(i +1,j)+V_n(i-1,j)+V_n(i,j+1)\\+V_n(i,j-1)]$$
c程序代码如下：
problem5.1
以下是运行结果：

对于另外一个类似的问题——求两平行电容板在其所在平面内产生的电势分布可以用同样的方法求出，我们只需要将边界条件改变为在两板上电势分别为1V、-1V即可得到答案。

4 结论

从以上画图和我们已知的结果比较，可以看出用雅可比方法对拉普拉斯方程进行求解能得到较好的结果。

5 致谢

参考资料：computational physics by Nicholas J.Giordano,Hisao Nakanishi.