第十一次作业

计算物理 郭忠智2014301020087

---

1 摘要

本次作业利用土卫七Hyperion的的简化模型，完成了4.19观察Lyapunov exponent随着轨道偏心率的变化关系，通过作图观察到随着椭圆轨道偏心率的增大，Lyapunov exponent增大，这可以从图中的绿线的斜率大小判断得知。

2 前言

Study the behavior of our model for Hyperion different innitial conditions.Examine how this Lyapunov exponent varies as a function of the eccentricity of the orbit.

3 正文

(1)简化模型
将Heyperion看作用一根没有质量的杆连在一起的两个质点$m_1,m_2$,他们各自和土星之间靠万有引力束缚分别为$\overrightarrow F_1,\overrightarrow F_2$，以土星为坐标原点建立坐标系，在此中两质点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,他们的质心坐标为$x_c,y_c$,将卫星的运动看作质心绕着土星的运动和两个质点绕着质心的运动。
(2)计算

$$\overrightarrow F_1=-\cfrac{GM_{Sat}m_1}{r_1^3}(x_1\hat i+y_1\hat j)\\\overrightarrow F_2=-\cfrac{GM_{Sat}m_2}{r_2^3}(x_2\hat i+y_2\hat j)$$
$m_1,m_2$受到的扭转力矩为 $$\overrightarrow {\gamma}_1=[(x_1-x_c)\hat i+(y_1-y_c)\hat j] \times \overrightarrow F_1\\\overrightarrow {\gamma}_2=[(x_2-x_c)\hat i+(y_2-y_c)\hat j] \times \overrightarrow F_2$$
所以两质点绕质心的转动方程为 $$\cfrac{d\overrightarrow w}{dt}=\cfrac{\overrightarrow{\gamma}_1+\overrightarrow{\gamma}_2}{I}$$
其中$I=m_1|r_1|^2+m_2|r_2|^2$为转动惯量。
得到 $$\cfrac{dw}{dt}\approx -\cfrac{3GM_{Sat}}{r_c^5}(x_c\sin\theta-y_c\cos\theta)(x_v\cos\theta+y_c\sin\theta)$$
通过Euler-Coromer方法计算就可以得到$\theta,w$的关系。

(3)运行程序
程序代码如下：
problem4.19
运行得到如下结果：
角度和角速度随时间变化：

我们去掉程序中$-\pi\le \theta \le \pi$的条件，得到：

轨道的偏心率对角度差的影响：

取不同的偏心率，得到拉普洛夫指数如下：

4 结论

通过以上作图观察，可以看到随着轨道的偏心率的增大，拉普洛夫指数改变，表示当初始的角度相差很小时，圆轨道的情况下，在t>0时刻两个角度相差不大，而对于椭圆轨道，在t>0时刻两个角度相差增大，对应着卫星运动变得混沌。

5 致谢

参考资料：
[1]wikipedia.
[2]Computational physics by Nicholas J.Giordano,Hisao Nakanishi.