防御的主观构造

计然生

伊索寓言之中那只认为葡萄酸的狐狸，正是混淆了信仰分布和偏好分布的界限。
早在1641年，霍布斯对笛卡尔发出了带有异国情调的责备：

“你如何知道我知道你知道我知道这件事呢？如果你不知道我知道你知道，那么你根本就什么都不知道”。

当然，现代的博弈论工作者已经要么皈依模态逻辑，亦即我不知道我不知道某件事那么我就已经知道了；或者信息集的提炼杖赖某种形式的“不动点”理论，确立了最终的共识，而且这种方法还完全排除了“求同存异”(agree to disagree)的乌有之境。
我们以前对套利的理解往往着眼于同质的时空之中，许多公平的定价都基于没有套利；或者说套利仅仅是一种时间概念。
另一方面，荷兰书的构造却又让我们时时自相矛盾。说具体点，也就是一种远古以来就有的传说“炼金术”。
举一个简化的例子：

A和B两人互相不认识，但是二人都有坚定的信仰分布，而且冥顽不灵。
A认为德国获胜的可能性是5/8，而巴西获胜的可能性是3/8；
所以她把注押在德国。
B信仰巴西获胜的可能性是3/4，而德国获胜的可能性是1/4；
所以他把注押在巴西。
A和B打赌：
如果下场比赛德国赢了，B给A 1000美金；
如果巴西赢了，A给B 1000美金。

很显然，不可忽略一个假设，正是因为A和B的期望收益都是正数，二人是一定愿意参加押注的。
然后，我们来构造一本荷兰书。

假设荷兰书H跟A做这样的赌注：
如果德国赢，H给A 2000美金；
如果巴西赢，A给H 2500美金。

由于A自己算出的期望收益是2000x5/8-2500x3/8= 312.5美金，正收益，根据冯·诺依曼的光滑效用假设环境，所以A愿意跟H打这个赌。

然后，荷兰书H又跟B做赌注：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 2000美金。

由于B自己算出的期望收益是-3000x1/4+2000x3/4= 750美金，所以B也愿意跟H打这个赌。
这时，我们看看荷兰书给我带来的收益：
如果德国赢了，我们付给A 2000美金，得到B 3000美金，净赚1000美金；
如果巴西赢了，我们付给B 2000美金，得到A 2500美金，净赚500美金。
总之，无论那边赢，荷兰书都让我们不吃亏。
有的时候，这类抱有异质信仰的人还会自己找上门来对冲自己的风险。
还是上面的例子，不过A和B主动想买一个保险，而作为保险的赌博期望收益等于零：

A与H打赌，并且打与不打这个赌没有差别
（这时A所采取的可能就是混合策略）：
如果德国赢，H给A 1500美金；
如果巴西赢，A给H
2500美金。
B与H打赌，并且打与不打这个赌无差别：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 1000美金。

这时的荷兰书还是让我们在各种情况下都不吃亏：
如果德国赢了，我们付给A 1500美金，得到B 3000美金，净赚1500美金；
如果巴西赢了，我们付给B 1000美金，得到A 2500美金，净赚1500美金。
那么，对于信仰坚定的A和B来说，这不是件好事，主观概率有待调整。
调整这种信仰分布的贝叶斯适应，就是基于“我知道我知道我知道我知道某一件事”来完成的。
本质上讲不是一种演绎逻辑。模态的出现限定了，信仰是不确定性的信息，知识是确定的信息。理性的疆界就限制在前置信仰是否一致；如果一致，那么具有了知识内容的决策者才可以是理性的。
(“我知道你知道我知道……”的回路被合理地短路了，或者用不通俗的话讲无限个阶段的混合策略是收敛的）。