概率拾遗录

范仕扬

防御的主观构造

伊索寓言(Aesop's Fables)之中，那只认为葡萄酸的狐狸，正是混淆了信仰分布和偏好分布的界限。
早在1641年，霍布斯(Hobbes)对笛卡尔(Descartes)发出了带有异国情调的责备：

“你如何知道我知道你知道我知道这件事呢？如果你不知道我知道你知道，那么你根本就什么都不知道”。

当然，现代的博弈论工作者已经要么皈依模态逻辑，亦即我不知道我不知道某件事那么我就已经知道了；或者信息集的提炼杖赖某种形式的“不动点”理论，确立了最终的共识，而且这种方法还完全排除了“求同存异”(agree to disagree)的乌有之境。
我们以前对套利的理解往往着眼于同质的时空之中，许多公平的定价都基于没有套利；或者说套利仅仅是一种时间概念。
另一方面，荷兰书的构造却又让我们时时自相矛盾。说具体点，也就是一种远古以来就有的传说“炼金术”。
举一个简化的例子：

A和B两人互相不认识，但是二人都有坚定的信仰分布，而且冥顽不灵。
A认为德国获胜的可能性是5/8，而巴西获胜的可能性是3/8；
所以她把注押在德国。
B信仰巴西获胜的可能性是3/4，而德国获胜的可能性是1/4；
所以他把注押在巴西。
A和B打赌：
如果下场比赛德国赢了，B给A 1000美金；
如果巴西赢了，A给B 1000美金。

很显然，不可忽略一个假设：正是因为A和B的期望收益都是正数，二人是一定愿意参加押注的。
然后，我们来构造一本荷兰书。

假设荷兰书H跟A做这样的赌注：
如果德国赢，H给A 2000美金；
如果巴西赢，A给H 2500美金。

由于A自己算出的期望收益是： 2000x5/8-2500x3/8=312.5美金，正收益；
根据冯·诺依曼的光滑效用假设环境，所以A愿意跟H打这个赌。

然后，荷兰书H又跟B做赌注：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 2000美金。

由于B自己算出的期望收益是：-3000x1/4+2000x3/4= 750美金，
所以B也愿意跟H打这个赌。

这时，我们看看荷兰书给我带来的收益：
如果德国赢了，我们付给A 2000美金，得到B 3000美金，净赚1000美金；
如果巴西赢了，我们付给B 2000美金，得到A 2500美金，净赚500美金。
总之，无论那边赢，荷兰书都让我们不吃亏。

有的时候，这类抱有异质信仰的人还会自己找上门来对冲自己的风险。
还是上面的例子，不过A和B主动想买一个保险，而作为保险的赌博期望收益等于零：

A与H打赌，并且打与不打这个赌没有差别
（这时A所采取的可能就是混合策略）：
如果德国赢，H给A 1500美金；
如果巴西赢，A给H 2500美金。
B与H打赌，并且打与不打这个赌无差别：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 1000美金。

这时的荷兰书还是让我们在各种情况下都不吃亏：
如果德国赢了，我们付给A 1500美金，得到B 3000美金，净赚1500美金；
如果巴西赢了，我们付给B 1000美金，得到A 2500美金，净赚1500美金。
那么，对于信仰坚定的A和B来说，也许这不是件好事，主观概率有待调整。

调整这种信仰分布的贝叶斯适应，就是基于“我知道我知道我知道我知道某一件事”来完成的。这一类调整方法在冲击着数理统计学科，我们给了它一个非常有趣的名字：“靴襻”(bootstrap)。
“靴襻”的典故可以追述很远，最为著名的应该是吹牛大王敏豪生(Munchhausen)男爵把自己从湖底拉了起来的逸闻。
本质上讲不是一种演绎逻辑。模态的出现限定了，信仰是不确定性的信息，知识是确定的信息。理性的疆界就限制在前置信仰是否一致；如果一致，那么具有了知识内容的决策者才可以是理性的。
(“我知道你知道我知道……”的回路被合理地短路了，或者用不通俗的话讲无限个阶段的混合策略是收敛的）。

确定的偶然

如果说荷兰书是防御的主观构造，那么随着沟通的继续，求同存异的几率也是相当少的。最终的每一个人都确信“我知道我所知道的我知道我知道……”
(这个“靴襻”过程试图寻找低阶的随机性。)
这一类方法，也自然免去了某种俗套，正如康德在1787年讲述:

晚宴过后客人们无限渐慢地靠近大门，彼此通过说“再见”表示听到了“再见”。为确认对方听到我说了“再见”这一事实，并再报之以一声“再见”表明我听到了对方听到我那声“再见”的事实。最后，我说一句“再见”、你说一句“再见”；然后，你再说一句“再见”，我再说一句“再见”…… 如此似乎永远走不出主人的大门。
即便如此，客观构造也并不都是线条般的。

我们举个独立于经验的例子：

假设今天（t=0），美元$兑人民币￥一比一:

$1= ￥1.00,

我们设想，下周末（t=1）只有两种“等可能出现”的情形（几率平分50%）：

情形1) 一美元贬值为：$1= ￥0.80;

情形2) 一美元升值为：$1= ￥1.25。

那么，这一美元在下周末的期望是兑多少呢？

$1= ￥(0.80x50% + 1.25x50%),

合：$1= ￥1.025 (也就是说美元要升值)。

我们对下周末的两个情形做一个恒等变形，用人民币计价：

情形1) $\$1$=￥0.80可以写成：￥1 = $\$(1/0.80)$;
情形2) $\$1$=￥1.25可以写成：￥1 = $\$(1/1.25)$.

那么，一人民币在下周末的期望是：

￥1=$[(1/0.80)x50% + (1/1.25)x50%],

合：$1= ￥ 0.975 (也就是美元要贬值)。

那么，美元到底要升值？还是要贬值呢？

这个费解的问题， 被认定为是凹函数（convex，有时被译作凸，从形态上看“凹”比较像）在期望算子的作用下确实存在一个Jensen's不等式。

除了苏联人热衷的测度论，我们或许可以使用一些游戏来解释概率的本质。

休谟(Hume)那个时代的宇宙还没有混乱的平行起来，或许说最前沿的人仅仅是看到了空间上的平行。
然而，时间上的平行却是最简单的，比如说“我认为你可能认为我可能认为……” 就旨在构造一种平行。

游戏和欧几里得的演绎几何恰恰背道而驰，按照休谟一派，这却是一种由“个别到一般”的过程，或者称倒推的、归纳的。

直到上世纪30年代，Ville等人才让这种游戏成为必然的偶然支配（或者称偶然的必然支配）卷土重来。

波普(Popper)直接提出了“钟”与“云”两种观念 （Weltanschauung）的对立，可惜近代研究者们用“钟”来测量和描述陌生的“云”其熟悉的一面，不过是把每一朵“云”变成了“钟”。

每个围棋高手都明白棋上对弈的有且仅有两个人，没有其他人。而且对于围棋而言，总存在一个strategy-stealing的理论。日本的角谷先生提出过，围棋总存在一个获胜策略。更近一步，成败的关键完全在于谁先走第一步（当然棋盘必须是有限的、而且理性不能疲劳）。还有一个简便策略用于短路：我走的棋仅仅是对方的轴对称或者镜射。

回到前面这个例子的解决，与其说来自于植物学家的灵感，不如说是爱因斯坦1905年对上帝选择投骰子的怀疑。

德州扑克的玩家，往往以为扑克牌和棋一样人都在场，却忽略了一个参与者：机会先生。他是洗牌的手，在有的地方他是骰子、一枚硬币、或者石头剪子布。

无论如何，他的脚步如同喝醉了酒的。

若是他还牵着一条流浪狗的话，狗的脚步却有着信息量，毕竟狗最大活动范围的半径就是绳子，而且狗没有喝醉。如此而已。

我们先用美元$计价汇率来分析，类似互换的定价过程(亦即微分方程的通解)：

$F = Se^{({R_1} - {R_2})t}$.
t=0时，${e_0} = 1$.

情形1) ${e_1}= 0.80$;
情形2) ${e_1}=1.25$.

期望是：$\mathbb{E}(e_1)=1.025$,
方差是：$\sigma ^{2}(e_1)=0.050625$.

用人民币￥计价汇率来分析：
t=0时，$\epsilon_0=1$.

情形1) $\epsilon_1= 1.25$;
情形2) $\epsilon_1=0.80$.

期望是：$\mathbb{E}(\epsilon_1)=1.025$,
方差是：$\sigma ^{2}(\epsilon_1)=0.050625$.
相关系数：$\rho= -1$.
同时，$e_t\epsilon_t=1$, 或者 $\epsilon_t=1/e_t$.

我们不妨把机会先生的事放在$z$一边（醉汉的脚步）。

风险中性的随机过程自然是：

$de_t = [R(\yen)-R(\$)]e_t dt +\sigma (e_t)e_t dz$

根据伊藤引理：

$d(1/e_t) = [R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)] (1/e_t) dt -\sigma (e_t)(1/e_t) dz$

所以，

$d(\epsilon_t) =[R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)]\epsilon_t dt-\sigma (e_t)\epsilon_t dz$

显然这样一来，二者的变化率（$de_t/dt$和$d\epsilon_t/dt$）成了不对称的。
根据日经指数的quantos法则：
变换计价方式，单位变动会直接导致$\epsilon_t$的期望变化率变动:

$cov(e_1,\epsilon_1)= \rho \sigma(e_1)\sigma(\epsilon_1)=-\sigma^2(e_t)$

所以，$d\epsilon_t=[R(\$)-R(\yen)]\epsilon_t dt -\sigma (e_t)\epsilon_t dz$.

如此，二者的变化就“对称”了。

不过，质疑主要来自于Jensen's不等式是否被违背了。

最好的解释是此处使用的不再是期望，而是条件期望，准确地讲这个游戏的魅力在于：条件期望把随机变量降解为数，Jensen's不等式就成为了等式。

德国数学家Kronecker攻击康拓(Cantor) 时说，“上帝只创造了整数，其余都是人做的工作”，居然划分出了“理性”(sanity)和癫狂的界限。而一部分癫狂可能是一种特殊的理性。

其实，“有理数”都可以看作是“纯策略”和一般的“混合策略”（即便无限循环，但循环节的长度有限），视为理性(神志清醒)的疆界。

把那些有理数转化为二进制更为清楚：

½=0.10000000...=1(½)+0(½)²+0(½)³+...

¼=0.01000000...=0(½)+1(½)²+0(½)³+...

2/3=0.1010101... =1(½)+0(½)²+1(½)³+...

(最后这个类似一种以牙还牙的摩尔机)

至于无理数，则是无限之无限的，没有规律可循，这便是一种随机发生的“竟然都不能纯化(purified)的混合策略”。我们果然也无法用分数的形式写出来，比如数集般的$\pi$.

过化存神

钟和云的对立湮没在驯化和人工秩序之中。无事生非(much ado about nothing)，我们肉眼看到的是驯化的结果。

众所周知，对称策略是一种信息缺失，其中一面不过是另一面的复制，没有提供任何新信息。自然有时也会采取这种策略，比如分型（fractals）。看似不规则而实则规则的分型也是观诸于钟的世界，甚至那些由发生器产生的随机数也并非真正的随机，所以也是钟王国里的臣民。如今计算的任务也虔诚的臣服于钟。

十年前在国内读到了一本读物，是两个得了诺奖的德国人Eigen 与Winkler
写的，被 Kimber夫妇（Kimber太太在2015年12月走完了人生的最后几天）翻译成了英文《游戏:自然规律支配偶然性》(Laws of the Game: How the Principles of Nature Govern Chance)；它后来也有了多国文字的版本。
这本书提供了游戏的两个视角：随机性和规律性。可惜的是，它忽略了许多游戏并无随机性，比如国际象棋，除非下每一步前允许出拳或者扔骰子。

难得糊涂（Ignorance is bliss），这本荟萃般的读物忽略了游戏最重要的一点，所有游戏都有的共性，盈亏（payoff）。这是游戏区别于其他任何行为最直接的一点，而且最终这些盈亏成为了测度，最后的累积就是胜负。

参与游戏的初始资本就叫做概率，而其公平性也在于这场游戏是否被驯化（tamed）而非野生（wild）秩序。套马的僵起作用的叫做"鞅"（martingale），驯化万类，押注资本的变化过程可以被看作是鞅。
游戏的历史信息，都被这些盈亏的资本量俘获住了。盈亏高低和游戏规则，就是这些序结构。

我们只关注于存在偶然性的游戏，因为这对于盈亏重新分配有着意料之外的力量。资本和概率测度一样，并非一成不变的，随着时间流逝而变化。分布本身也在进化的过程中。
当然，驯化也并非全都必须是人造物，也有自发性的力量。经过多次(甚至是无限次)重复的游戏，所有的历史信息都铭记在心，这便是无名氏定理（Folklore theorem）的基石，直至那些原貌荡然无存。
野生的资本过程，有着极大的不确定，驯化的不确定性成为了风险，而相当一部分不确定性是不能转化为风险的。

我们信手拈来一个例子，从圣彼得堡悖论稍作改动获得启发。
假若有这么一个赌局：即便你赢的概率只有0.0000001‰，但你可以一直玩到你赢为止。每玩一次可以双倍加注。
如果你初始资本只有$a$元，倘使在第$n$轮赢了，你的收益是$a 2^n$, 而你的亏损总共是$a[1+2+4+\cdots+2^{(n-1)}]$.

再比如另一个在形式逻辑驯化过程中被征服的例子：
潘多拉突然获得流亡的众神发布的神谕：有两个装着钱的盒子，她只能任意打开一个并获得其中的钱。
然而，神谕的内容还告诉潘多拉会有这样2种等可能情况：任意一盒所装的钱，是另外一盒钱的2倍、或者是另外一盒钱的一半。
如此，假设潘多拉任意打开了一个盒子，里面的钱是$\$N$.
假设潘多拉是风险中性的，那么她期望没打开的那个盒子所装的钱应该是：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} N) + \frac{1}{2}(2N) = \$ 5N/4$.
这个例子说明，潘多拉注定必然会不断后悔。

我们还可以看一个公开信马由缰的例子：
浮士德一觉醒来，发现自己身处地狱。
不过魔鬼仍然为他提供了一条出路：可以选择和魔鬼打一个赌。赌博的奖励是飞升天堂的永生。
如果浮士德在地狱的第$N$天同意打这个赌，他将有$(N-1)/N$的概率飞升天堂、有$1/N$的概率留在地狱。
这个例子的哲理或许是，若浮士德总是通过在地狱多等一天以增加他升天堂的概率，他将在地狱中永生。
这个例子可能还说明一点，如果获得某个东西的时间如果不重要的话，那么是否获得这个东西也就不重要了。

在2011年，三位计算机数学家Ekhad，Georgiadis和Zeilberger 发表了“下注速成”（How to Gamble If You're In a Hurry）：

假设有数量为 $n$ 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以 $p$ 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。
如果赌博的目标是本钱增长到 $N$或者破产（输光所有的钱为止）。
问什么样的方式可以最大化成功（赢到 $N$ 走人）的概率呢？

提案者还假设了$n,N$都是整数，并且每次只能下整数的赌注。具有讽刺意味的是，最后的结论受到了质疑。

如果 $p<0.5$，那么每次下注 $min(n,N−n)$ 。
如果 $p=0.5$, 成功概率与本钱成正比。
如果 $p>0.5$，每次下注$1$。

难得的删繁就简

竹村彰通在2014年底的一场严肃报告，似乎是概率论研究者的一种新的思路。
如同当年帕斯卡(Pascal)对业余数学家费马(Fermat)的排列组合进行的“精兵简政”(streamlining)一样，竹村先生的综述涉及到一个概念，“确定化”（de-randomization），以及一套名为Game-theoretic Probability的方法论。

竹村的演讲提到这么一句话：“如果你从不押上比你所有财富还多的注，那么你永远无法无限富有。”

这句话的证明，并没有给出来，不过这句话却被归功于让•维勒(Jean Ville)在1939年开始的工作。在Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书中将这句话列为古诺原则(Cournot's principle)的变体。
和苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Николаевич）建立起来的测度论不同，让•维勒另辟蹊径提出了以贝叶斯学派为依托的概率论，Game-theoretic Probability。
Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书“Probability and Finance: It's Only a Game”，算得上是这项研究的集大成者。
然而，令人遗憾的是仍然难以彻底与测度论分庭抗礼。

这本书的枯燥之处在于例子太少，纲举目张，以下为佐证竹村先生的那句话，特别构造一个经典而浅显的例子：
一个赌徒和经纪商（或者赌场）参加一局不能相互赊借的赌博。
赌徒的初始资本是B，经纪商的初始资本是$D$, 总资本是$B+D=C$.
假设赌徒破产的概率是p，也就是指$p = \mathbb{P}[B=0\&D=C]$.
同时这个赌局是公平的。也就是说，任意一方的期望收益是0.
强调概率p对B是线性的。
那么，赌徒的期望收益：$-pB + (1-p)D = 0$,
所以，$p = D/C = 1 - B/C$.
这样衍生出来的概率，暗示着：无限次重复的赌博没有一方会赢钱，但是在有限次之中资本押注得多的会占优势。
这也印证了Patrick Billingsley早在1983年提出的“一次全押上胜过多次押小注”，以及“即便胜算不大也最好把全部资本投进去”。

当然，这些关乎市场是否有效的结论并不重要，重要的是这个概率的计算过程。
福尔摩斯般的倒推法，实则是一种归纳，而避免了演绎和排列会出现的遍历性讨论。
研究遍历性是测度的一项基础工作。例如获得中央公园哪个位置的人口最密集，可以通过这两种方式。一种方法是，比如以一天为限，统计每个位置游客数量，制作出对各点密度的分布以及期望。另一种方法是，比如跟踪某一个游客一年之内在公园的轨迹，制作出分布和期望。这两种方法或许都有一个致命的缺点，对遍历图景的某种偏误。这也许是数据的镶嵌形成的，任何一种观测或许看不到这种层次感。测度论已经可以抽象地通过包含和过滤的办法加以透视。

对于鞅（martingale）的理解，人们往往局限于这个形式：$\mathbb{E}[P(t)｜P(t-1),P(t-2),...,P(1)]=P(t-1)$.
美国人Glenn Shafer和英国人Vladimir Vovk 运用Game-theoretic Probability解释了这一现象：${P(t)}$是一个鞅。
（附：其game-theoretic方式的证明）
可惜的是，这样老花眼的定义并不能看到测度论工作者希望我们透视到的。
因为还需要意识到“最小信息集”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(\mathbb{E}(y｜x, w, z) ｜x, w) ｜x] = \mathbb{E}(y｜x)$以及“迭代期望定律”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(y｜x)]=\mathbb{E}(y)$ 各自生成的条件。也就是说鞅在结构上的层次性。

在钟的世界里，最简单的镶嵌结构就是利用了对称的分形。比如远东童谣：

“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是‘从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是……’”

巴赫多首赋格、卡农也是这种升降半度的重复创作，比如在1885年左右的“G大调大提琴第一组曲”(BWV 1007)。
毫不客气地说，华尔街日报的新闻大部分内容就是这么自动生成的。
在这种镶嵌分形的世界里，碎片的信息可以实现全息，一花一世界。更为理想主义的是，这种碎片基因还被指望可以还原整体，也就是历史的重复性。

钟的世界存在一种安全意义的惯性，这是研究优化和系统最大的法宝。比如进入磁场的闭合回路受到的洛伦兹力、溶液缓冲对，当然最著名的则是萨默尔森版本的勒•夏特列(Le Châtelier)定律：一般均衡下，价格在长期的影响大于在短期的影响。定性地说就是，均衡在短期朝着减小变化的方向移动。

这样性质也是Newcomb在1881年以及Benford在1938年所观察到的一种数据增长的惰性：随机数从1增长到2的困难程度，远远大于从9增长到10的困难程度。
在审计领域，把随机性（纯商业目的活动）量化为：数据中以1开头的数应该最多，依次递减到以9开头的数应该最少。

回忆起来，我们学习微分或差分方程的逻辑顺序：先从线性系统着手，那些非线性的运用“邻域”这个开区间来近似成线性的。对线性的微分或差分方程，我们先找的是齐次形式(homogeneous)的通解，然后把非齐次的通过与不动点进行扰动，从而把那些非齐次的转化为齐次的。最终成为矩阵理论的用武之所：线性系统。在群论看来，矩阵则是对称运动的抽象结构。这个大致的逻辑，跟频率学派着手建立测度论别无二致。
把每一朵云精确化、公理化，最早从巴黎高师提出，并且成为一群以尼古拉•布尔巴基(Nicolas Bourbaki)作为笔名的欧洲数学家终身追求的目标，柯尔莫哥洛夫就深受影响。公理化，构成了测度论的语言和律法，如同巴黎的各种沙龙产生的各种宣言和主义一样。
钟的世界，的确在大自然中找到了呼应。顺应计量学科的发展，在遗传学上的Hardy-Weinberg Law成功运用了牛顿-莱布尼茨二次展开式。概率不再简单是一种反事实的历史可能，更成显示为种群的数量。随机过程就像家谱一样显示出瀑布般的层次感，而某一性状的种群灭绝也被看做是概率衰减为零。巴黎的公理化对概率似乎也演化为一种运动，从沙俄时期说得一口流利法语的马尔可夫(Марков)、切比雪夫(Чебышёв)师徒，到那些获得列宁勋章的苏联劳模柯尔莫哥洛夫、辛钦(Хи́нчин)、吉尔萨诺夫(Гирсанов)，薪火传承。
他们受法德频率学派的影响根深蒂固，成为布尔巴基学派最重要的一个分支。布尔巴基学派的最重要贡献就是集合论以及集合论对各学科的应用。二战之后，布尔巴基学派更迎来了鼎盛时期。

概率论中的贝叶斯学派，基本是伴随着蒙特•卡洛仿真的运用在上世纪70年代才死灰复燃的。
钟的世界受到了何等的冲击而遭受剧变，我们能找到的仅是一份1968年冬巴黎流传着布尔巴基的讣文。讣文的大概内容是高师的校友、还有陈班学生对尼古拉•布尔巴基于11月在Nancago(暗示Nancy和Chicago)的庄园逝世各种惋惜。概率论的研究从那些设有科学院的国家走出来，走到计算机应用中来。

摩尔机是一种数据生成的装置，它可以模仿数据的行为，通过观察总结多次来调整主观概率分布。它没有一个先验的模型，这种方法也被成为non-parametric或者semi-parametric理论。概率的分布，变成了一种反应函数（reaction curve，实际是对置身事外的另一个概率的应激反应）。不需要像依赖太多假设，计算机的数量方法把苛刻的抽样变成了造物般的模拟。

钟的世界往往受到老牌酒店的青睐，不难理解希尔顿以及丽兹酒店选择ERP技术来运筹帷幄，而拒绝电子商务平台的方案。当然也是出于公司安全性、独立性的考虑，但是这也意味着巨额的安装和运营维护成本。
不过值得一提的是，如今对成本考量最大的挑战是，成本的计算越来越没有可重复性了。当云方案出台的时候，成本数据甚至会廉价到免费的地步，旅行信息也不再为酒店所垄断。
上世纪九十年代末，克莱因(Klein)以“确定性的丧失”为旗号，大肆宣扬布劳威尔(Brouwer)的直觉主义和置精确于不顾的集合论。
当然，这并不是说ERP技术完全就被替代掉。正如审计事务被替代后，事务所可以转型为以贩卖数据为主营业务的咨询公司一样，而咨询就极有可能成为一门艺术。
而且这稀松平常，如同统计上的黄金分割法还有Grid Search被今天的计量经济学者仅仅视作一种艺术而已。
不得不说，深受布尔巴基学派影响的艺术家可是挺多的，比如绘画方面的立体主义。

烟霞雾霭

入手谈说混合策略的构造，并不一定需要一个显性的随机数发生器。一旦一项行动的选择或决定做出以后，没人知道这究竟是混合策略还是纯策略。
多态的(polymorphic)均衡存在于信仰(概率分布)之中，而非实际行动。这个概念来自于贝叶斯纳什均衡最重要的一个假设：角色分配(casting roles)。把一个玩家变成同时存在的多个玩家。
即便每一个玩家都出纯策略，但是剧情的安排最终构造出玩家们整体是采取混合策略。
如果你手中正好没有骰子或者硬币之类的，理解这个概念不妨参考莎士比亚的《驯悍记》 (The Taming of the Shrew)。
除此之外，无论是杀了丈夫伊阿宋(Easun)的新欢又杀了两个儿子的美狄亚(Medea)公主，还是杀了丈夫阿伽门农(Agamemnon)又被儿子俄瑞斯忒斯(Orestes)所杀的克里台内斯特拉(Clytaemnestra)，在莎士比亚的《泰特斯·安特洛尼克斯》 (Titus Andronicus)这部剧面前都显得小巫见大巫了；不得不说，它是莎翁著作中最为血腥和残忍的一部剧。

当然，这本来源于贝叶斯学派对于参数估计的理解与频率学派的截然不同：他们认为真实参数是变动的；而频率学派认为真实参数是客观不变的、变动的是估计和由估计构造出的置信区间。
这也难怪频率学派的数理统计发现了“安娜·卡列尼娜原则”(Anna Karenina principle)，当然是语出那位取名狮子的处女座文豪托尔斯泰：样本数据满足所有原假设的方式只有一种，违背原假设的方式各有各的不同。
贝叶斯概率则是着眼于一种“小世界(small states)概率”。
这个枯燥的逻辑是因为英国哲人穆勒(Mill)对归纳(由个别到一般的)方法进行的束缚，也是形式逻辑中“穆勒归纳法”的精髓：真实仅仅只是小世界的真实。而至于小世界之外，我们唯一知道的就是我们一无所知。

也许在一些小世界中天鹅都是白的，但在有的情况下会与黑天鹅不期而遇。
这种情况是讨人嫌的，比如研究“最优捷降线”(brachistochrone)出现的“欧拉方程”。优化，无非是”最大化”(max)和”最小化”(min)，max是凹(convex)函数，而min是凸(concave)函数，分隔而治。
（优化的对象functional我们叫泛函，也就是所谓“广义函数”是沿用苏联50年代的叫法。西方数学界则称为“分布”。维基百科说线性泛函是普通函数生成的，倒也不一定，测度（measure）也可以生成线性泛函。测度本身也是泛函。）
一般来说，一期或者短期的优化，就会产生一个一阶的必要条件，这便是“欧拉方程”。(家喻户晓，欧拉冠名了许多方程，而我们说的是$F_x=\frac{\partial }{\partial t}F_{\dot{x}}$.) 每一期都得到这样的条件，那么是不是加在一起就解决了无限期或者整体的问题呢？是不是每一期得到的欧拉方程都一模一样。
“一致性”(time consistent)是这个问题的关键：亦即某一条件是各期、各个问题的最优解。
困难在于“最优捷降线”离不开摄动(perturbation)的局部性，或者在收费高速公路(turnpike)问题上就体现为每一期的最优路线都不一样（开车上班的朋友应该深有体会，Google map选出的最优路线老是变来变去）。
负债经营(或赌博)最大的挑战就是一致性的丧失，我们先看一个非公平的竞技游戏：

射击选手A和B参加一个射击比赛，一共100次射击机会。 不失一般地，我们简单地划分每次射击结果为中靶和没有中靶两种。
第一轮：
A打了60发，中了56次，中靶点数为0.93；
B打了70发，中靶62次，中靶点数为0.89.
A在第一轮暂时领先。
第二轮：
A打了40发，中了12次，中靶点数为0.30；
B打了30发，中了8次，中靶点数为0.27.
A在第二轮仍然领先。
现在，双方100次射击机会都已全部耗尽，我们来看看他们的成绩：
A一共中靶68次，累积0.68；
B一共中靶70次，累积0.70.
虽然A在每一轮都领先于B，但是最终的总成绩是B领先A。

人类的逻辑是从规则来研究“不规则”，于是钟表这样的度量衡就被发明了出来。
博弈论研究引入了“信息集”这一概念，最早是由冯·诺依曼(Von Neumann)和Lawrence老师的导师摩根斯坦(Morgenstern)在研究扑克游戏时提出的。
为了看到这个信息集，不妨先从一道经典习题着手：

一个村子里住着许多家庭，其中有50个家庭中的丈夫对妻子不忠。在牧首来到这个村庄之前，没有一个妻子知道自己丈夫的情况，她们只知道其他所有的男人是否不忠。但是，一旦妻子知道自己的丈夫不忠，就会在当天子夜杀掉他。每天晚上，妇女们都会聚在一起开会。
有一天，牧首诚实地宣布：这个村庄至少有一个丈夫对妻子不忠。请问：有多少丈夫最后被杀掉？答案是，村子里安静地度过了49天，第50天夜里听到了枪声，正好50个丈夫被妻子打死。

答案的最为典型的一种推理以在MIT的习题集总结出来的为例：
假如这个村庄只有一个不忠的丈夫，他的妻子是唯一不知情的人，那么第一天过后的子夜就会听到枪声。如果有两个不忠的丈夫，他们那两个不知情的妻子只了解到有1个不忠的丈夫，第一天夜里风平浪静。经过第一晚，这两位妻子可以推断出有且正好有2个负心人，第二个夜里同时发生了枪声。如果前两天子夜都风平浪静，那么妇女们就可以推断出至少有3个负心人……
以此类推，这是一种非常经典的归纳法。

不过，化身福尔摩斯之后的大侦探波洛(Hercule Poirot)提出，这的确值得删繁就简。还有一种删繁就简的办法是由英国人Ken Binmore通过“信息集的分拆”获得，而且对学习非合作博弈更为有益。
Binmore把这一理念运用在拍卖设计中，香港和新加坡政府对3G网络运营执照的拍卖 (次高价暗拍，second-price sealed bid) 就是这种信息集拆分的运用。
（拍卖设计者意识到“钱包游戏”(Wallet game)可以避免“赢家诅咒”，其逻辑在于有共同的公允价值，然而在苏富比(Sotheby's)竞拍场却面临没有共同价值和估价不一致。由于担心“赢家诅咒”所以经常出现压低报价(shading)，但在次高价暗拍中“说真话”成为占优策略，附：其证明的总结）

在和次高价暗拍等价的英式公开拍卖中，无法承受心里底价的伴随拍卖叫价依次退场，场内留下的人拥有的信息最多。而另一方面，价格的高低也能俘获住了信息量的高低。

和这种竞拍场“逐次退出”的层次相关的概念，就是逆向归纳过程中对信息集的“分拆”。
不过，次高价暗拍与公开的英式拍卖，也并非完全意义上的对等。
（附： 拍卖等价的定律，以及引入风险厌恶之后不等价的证明，对风险厌恶引入妒忌(envy)策略作为解药建议。）

最大的一个问题就是“狙击”(snipe)这种策略，直到今天eBay也非常头疼这个问题：
在eBay网站上，标出的价实际上是第二高的报价，最高价被隐藏起来，维持一周进行拍卖，报最高价者以次高价的成本买到货。
可能的情况比如，某位报价1刀以后，注册不同账号变身第二位并立刻报100刀，吓走了同期竞争者，这样只花了第二高的1刀就收走了卖家所有的爱物。
为了克服这个困难，在eBay上新的报价允许最大不超过14%的增加。
由于担心提早报价无端抬高了第二高价，报价会大部分集中在最后时刻。
这就是所谓最后时刻的“狙击”。
准确地讲，无论是公开的竞拍还是悄无声息的暗拍，都是在发现价格，或者是揭露概率分布。那么，听到对方的声音会产生何等的差别呢？

我们通过一个二人决斗(Duel)来谈谈这个问题，当然把所有的混合策略全部“纯化”(purified)。决斗，就是两个情敌背对背走开到最远(设最远距离为1)，然后逐步靠近依次向对方开枪(一般还会蒙着眼)。俄国的普希金(Пушкин)和法国的伽罗瓦(Galois)，都是在与情敌决斗的过程中英年早逝的。
假设存活的概率同二人间距正比例变化，开枪的概率同二人间距反向变化。假设A从最远处起了$a$步或者距离，B从另一端走了$b$步或者距离。

（1）一种决斗是有声的“Noisy Duel”，一方听到对方开枪的声音。
那么A开枪的概率: $P(a)=1-a$, B开枪的概率是: $P(b)=1-b^2$.
A和B收益总和永远是1 (任意一方可以获得爱情则是1单位奖励)、而且严格竞争的(你死我活)。
利用对称性则有：$1-d=1-(1-d^2)$.
可以得到其中一个均衡:$d$≈0.618（黄金分割点）。两者反应函数(reaction curves)的一个交点则是(0.618, 0.618). 调整步长有时会产生出多个（奇数个）交点。
如果A要考虑到B的某个位置才能做决定，那么固定自己的位置意味着$a^*$是常数。
如果$a^*>b$, A的期望收益: $P(a^*)=1-a^*$是常数，是直线。
如果$a^*<b$, A的期望收益: $1-P(b)=b^2$, 是二次曲线。

（2）另一种决斗是塞着耳朵的“Silent Duel”，彼此听不到对方是否开枪。
如果a和b是“连续”变化的，那么两者反应函数(reaction curves)没有任何交点，没有纯策略纳什均衡。
但离散情况下，也就是调整步长有时会产生出一些交点。
A开枪的概率变成: P(a)=1-a, B开枪的概率是: $P(b)=1-b$.
如果$a>b$, A的期望收益是: $P(a)=1-a$, B的期望收益是: $a(1-b)$;
如果$a<b$, A的期望收益是: $(1-a)b$, B的期望收益是: $P(b)=1-b$.
所以收益总和是$1-ab$, “Silent Duel”并不是严格竞争的。

这两种”决斗”方案为拍卖设计者提供了警示，无论是买家的党同伐异，还是卖家希望的求同存异(agree to disagree)。

怠惰因循

欧洲神话中有一个Belphegor，一直以来被认为是懒惰之神，其实正式译名就是“七罪宗”，也可以理解为地狱的一个首领，算作亚述的魔神之一，以厌恶女性著称。要说司掌懒惰，在古希腊有一个懒惰女神Aergia，是以太( Aether)和该亚(Gaia)所生。惰性（Inertia）应该和Aergia这个名词同源，都指的是不主动、反动的意思。
后来这些异教的神，包括阿波罗在内都被流放了。随后约两千多年，流亡的众神也被放牧到很久远的地方。

但丁《神曲》的地狱篇(Inferno)里面对于懒惰没有太多的责难，把天主教“七宗罪”中的傲慢、懒惰，替换为异端、施暴、欺诈以及背叛。只在炼狱篇(Purgatorio)里稍微谈及懒惰这个话题，因此并没有引起耶路撒冷方面的太大注意。

无论是老三论还是新三论，懒惰，这一话题是经久不衰的，有着一种决定论的味道。系统是懒的，这句话至少可以延长很多研究者的寿命，有时甚至是可喜的：似乎就像是被“授权”一样。

勒•夏特列定律

懒惰的性质很容易从实验中归纳，比如磁场中的洛伦兹力、惯性。定性分析中的勒•夏特列定律(Le Châtelier's Principle)，也是这种懒惰的现象，缓冲对竭力维持原有的平衡。
萨默尔森(Samulson)版本的勒•夏特列定律，在部分均衡理论(PET)中用得很广，其大意是：“均衡朝着减小改变原有均衡的方向移动。”
其实这直接针对了均衡固有的惰性。它有一个实用的推论：“价格在长期的影响远大于在短期的影响。”

厂商的决策

我们看一个简单的例证；厂商的决策，已知资本成本$v$、工资$w$、产品价格$P$，选择资本、劳工，实现利润$\pi$最大化：

$\underset{k,l}{max} \: \pi (P,v,w){\rm{ = }}Pf(k,l){\rm{ - }}wl{\rm{ - }}vk$

根据包络定理(Envelope Theorem)，中长期的最优解是：
${q^*}(P,v,w) = {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial P}}$，
${l^*}(P,v,w) = - {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial w}}$，
${k^*}(P,v,w) = - {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial v}}$.

而在短期时，资本设备保持在固定水平$\bar k$，条件最优解变成了：
${l^c}(P,w,\bar k)$和${q^c}(P,w,\bar k)$.
利用恒等式：${q^*}(P,v,w) = {q^c}(P,w,{k^*}(P,v,w))$，
所以，自然就有产出的Slutsky's分解：
${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial P}} + {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial P}}$，
${{\partial {q^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
对第二个式子恒等变形：${{\partial {q^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
再根据杨氏定理(Young's Theorem)，
${{\partial {q^*}(P,v,w)} \over {\partial v}} = {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial P\partial v}} = {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial v\partial P}} = - {{\partial {k^*}(P,v,w)} \over {\partial P}}$，
所以，恒等变形为：${{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}} = {{ - {{\partial {k^*}} \over {\partial P}}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$.
带入第一个产出的Slutsky's展式，得到：

${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial P}} + {{ - {{\left( {{{\partial {k^*}} \over {\partial P}}} \right)}^2}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$

对于大多数正常商品，有一条被马歇尔(Marshall)称为“需求第一定律”(First Law of Demand)的假设：需求和自身价格反向变化。
如此，则${{\partial {k^*}} \over {\partial v}} < 0$，所以，产出的短期变动就会小于长期变动 ${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} \ge {{\partial {q^c}} \over {\partial P}}$.

同理利用恒等式：${l^*}(P,v,w) = {l^c}(P,w,{k^*}(P,v,w))$，
得到需求的Slutsky's分解：
${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial w}} + {{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial w}}$，
${{\partial {l^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
后者恒等变形：${{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}} = {{{{\partial {l^*}} \over {\partial v}}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$.
根据杨氏定理(Young's Theorem)，
${{\partial {k^*}(P,v,w)} \over {\partial w}} = - {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial v\partial w}} = - {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial w\partial v}} = {{\partial {l^*}(P,v,w)} \over {\partial v}}$.
由第一个需求的Slutsky's展式代换得到：

${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial w}} + {{{{\left( {{{\partial {k^*}} \over {\partial w}}} \right)}^2}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$

同样假设资本和劳动力都是正常商品，则${{\partial {k^*}} \over {\partial v}} < 0$，${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} < 0$.
因此，需求的短期变动就会小于长期变动$|{{\partial {l^*}} \over {\partial w}}| \ge |{{\partial {l^c}} \over {\partial w}}|$. $\square$

特例

此外，“勒•夏特列定律”暗含的一条推论则是：“短期需求曲线的弹性小于长期需求的弹性。”
还是以厂商为例来看一个具体的情形，计算其边际成本曲线：
生产技术是Cobb-Douglas的， $q = f\left( {k,l} \right) = {k^{0.4}}{l^{0.4}}$.
于是，推导出中长期的总成本函数为：$TC(q) = {{0.8} \over {0.4}}{q^{{1 \over {0.8}}}} = 2{q^{1.25}}$.
求导，得到中长期的边际成本函数：
$MC(q) = 2.5{q^{0.25}}$.
长期均衡解为：
均衡价格${p^*} = 2.5$，均衡产出${q^*} = 1$，均衡需求${k^*} = {l^*} = 1$.
删繁就简，假设短期内资本固定在$\bar k=1$，
则短期生产函数变成：${q^s} = {l^{0.4}}$，
所以得到短期总成本函数：$STC(q) = 1 + {q^{2.5}}$，
求导得出短期边际成本函数：
$SMC(q) = 2.5{q^{1.5}}$.
将中长期和短期的边际成本曲线画出来就可以看出规律：中长期曲线更为平坦，短期的函数曲线较陡峭，所以长期的弹性大于短期的弹性。

Benford's Law

系统的慵懒一旦成为一种经验，挖掘者就开始幻想以逸待劳。
榨取过程中有一条奇异规律，叫做Benford's Law，或者称数据是懒惰的。其大意是，随机数据极有可能服从这样一种规律：“以1开头的数最多，依次减少到，以9开头的数最少”。

首位数字为$d$的数出现的概率（频率），大致是$\lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)$.

这个直观的现象可以从你每个月消费记录上获得验证。
我还有一个办法：九九表，再熟悉不过的。把它扩增到100x100的规模，去掉第一行、第一列。实际上这是我们生产“合数”的办法，没有囊括的都是“素数”。你会看到“1”开头的数基本上比“9”开头的数九倍还多，有着基本清晰的递减规律。

增长耗时的视角

对于这个经验规律有一个简懒的解释。
我们可以理解为：“从100增长到200的困难程度，远远大于从900增长到1000的困难程度。”
从1增长到2的困难程度，与从10增长到20的困难程度，本质上没有差别。它们都是从“1”开头的数增长到“2”开头的数。
$d$增长到$d+1$，假设使用复利计算，利率为$r$.
我们把这种困难程度理解为一种惰性，亦即增长过程所耗费的时间。
1增长到10的过程中，1增长到2耗费的时间最长，依次加快，9增长到10最快。
假设$d$增长到$d+1$耗费的时间为$t$，从1增长到10耗费的时间为$T$.
所以，$d{(1 + r)^t} = (d + 1)$.
$t = {{\lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)} \over {\lg \left( {1 + r} \right)}}$，
$T = {{\lg 10} \over {\lg \left( {1 + r} \right)}}$.
增长耗时的占比就是：
${t \over T} = \lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)$.
可以看出，符合Benford's Law的经验，检验出以“1”开头的数占比约30.10%，依次递减，以“9”开头的数占比约4.58%. $\square$

Caveats (警示牌)

A practiced statistician might apply
The apt analogy of Benford's law
And I will not, as one of them, deny
(本土流行的诗体，和十四行诗不同，只前后两句押尾韵，而且中间只一句)

值得注意的是，增长过程所等待的时间应该受到许多“限制”。
一般而言，金融财务数据并非大数据，其中复利增长方式本身就是几何级数。我们举的九九表这一案，也是通过乘法生成的。
Kossovsky在2015年提出限制，Benford's Law的经验分布适用于以下情况：

• 数据的加总，比如现金流量表、损益表、资产负债表这一类的运动；
• 随机线性组合、凸组合，比如加了权的各种平均运动；
• 随机的乘法过程，包括前面提到的这种幂运算；
• 以上各种运算的随机逆运算.

在固定的单位时间里，所“等待的时间”，首先让人想到并不是Benford's分布，往往是泊松(Poisson)过程。而后者并不容易生成Benford's分布。
泊松过程最初是一种离散的随机过程，却连接了连续的时间。
它是针对于小概率事件，但却是必然要发生的事件。撇开这个过程，我们先看一个典型的离散分布。
对于泊松分布，离散的概率分布函数(pdf)是：$f(\xi) = {{{e^{ - \lambda }}{\lambda ^\xi }} \over {\xi !}}$.
$\xi$是随机的，代表单位时间内事件发生的数量。
这里的$\lambda$视作单位时间$[0,1]$内发生的“平均频率”，也就是在单位时间内平均有多少起事件发生。
你知道34街十字路口每周平均一起车祸，那么每周内车祸数量就服从泊松分布$\lambda=1$，一个月内车祸数量服从泊松分布$\lambda=4$.
在这个分布的基础上我们来看泊松过程，生成的比较有代表性的是Gamma分布，再特别地看其中的指数(Exponential)分布。
指数分布的pdf是：$f(x) = {1 \over \theta }{e^{ - {x \over \theta }}}$.
这里的$x$是随机变量，代表“到事件第一次发生所需要等待的时间”。
这个指数分布是由一个泊松过程生成的：
如果$x$恰好是单位时间的话，小概率事件发生的“平均频率”就正好是$\lambda = {1 \over \theta }$.
$\theta$是尺度参数，可以被简单地理解成“平均的等待时间”。
想象一下，你躺在空旷的草坪上，仰望夜空，心里知道每个流星平均每半个小时出现一次。但它们并不一定准时，而且也跟你等待了多久没有关系。
这在随机过程之中，联通了“连续”与“离散”。
此外，这个指数分布还蕴含了一点，等待的时间是无记忆的；其寓意是高阶的随机性。

这几种关于“等待时间”的分布函数，其形态是完全不同的，而且相互之间也并不存在人们通常预计到的收敛速度的关系。
“等待时间”的经验分布，暗含了随机数据属于哪种随机性。你可能会说，Benford's分布是那些“慵懒”的过程生成的。

生成过程

按照Kossovsky(2015)的说法，幂运算生成的程序算得上是这样的慵懒过程。那么随机的幂函数如何生成呢？
你我心照不宣，首先想到的一定是差分方程的通解，它们一般都是幂函数。

在连续的情形则是微分方程，求通解也可以产生指数函数。这些随机函数则可以收敛于Benford's分布。
在偏微分方程里面则不尽然，举一个特别的反例。
求解傅里叶(Fourier)的热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，
难以化简，可以说通解非常多，当然可以猜到一种通解长成这样：$u(t,x)=Cx^2+2Ct$.
由于$lg|u|$的小数部分不服从均匀分布，这个通解既不在空间上($x$)收敛到Benford's分布、也不在时间上($t$)收敛到Benford's分布。
热传导方程的另外一个通解：$u(t,x)=e^{-C^2t}sin(Cx)$，
生成的这个通解，作为一个随机变量，在时间上($t$)收敛到Benford's分布，但是不在空间上($x$)收敛到Benford's分布。
再求解，受正态分布pdf的启发构造一个幂律形式，热传导方程又有了这个解：$u(t,x)=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$，
它在空间上($x$)倒是收敛到Benford's分布，却又不在时间上($t$)收敛到Benford's分布。
继续构造该方程的通解，留心一点，这种指数形式的随机函数渐进服从Benford's分布。
$u(t,x)=e^{C^2t+Cx}$也是它的通解，无论在空间上($x$)还是在时间上($t$)都渐进服从Benford's分布。
目前走着频率学派的路子，一定想拿腔拿调问问：要不要求参与这些幂指运动的$x$们还有$t$们，符合独立同分布(i.i.d.)？
90年代讨论这个问题还算比较多，不过都是无事生非(much ado about nothing)。拿掉同分布，再看独立，也一样是画蛇添足的(gild the lily)。
独立，并不一定意味着随机。令人叹惋，独立甚至在“限制”随机的程度，“限制了联合分布函数(joint pdf)产生方式，它们直接由边际分布函数(marginal pdf)仅仅通过乘法运算得到”。

走出实验室

自然界有很多捡懒的过程，偷工减料，最常见的一种办法就是复制和对称。某些树叶的叶脉，即便再细微，也和树枝、树根的分叉方法如出一辙；雪花也是，还有螺壳、花菜等等，细微的分型(fractal)和整体的形态基本是相似。
包括对称也是，实际是信息的缺失，一半信息是另一半信息的复制。
生成它们的过程，我们就认为是慵懒的。

从有限的理性思维过程而言，欧几里得般的演绎，显然比穆勒(Mill)的归纳来得轻松、一劳永逸。
懒人并不热衷归纳方法，尤其是逆向归纳(backward induction)，也是由于归纳更容易错误百出、事倍功半。

然而，使用归纳则是耗时费力的，而且很难避免误判。
早在17世纪，拉普拉斯(Laplace)就提出用“概率”在法庭断案，遭到伯努利家族(Bernoulli's )包括傅里叶(Fourier)在内的强烈反对，因为统计的本质也在于归纳法。
即便是福尔摩斯(Holmes)也会犯错，他的推理技巧大部分是缜密的归纳方法。不过，“修道院公学绑架案”之中他的逆向归纳出了巨大的纰漏。
也许小说可以把归纳的随机性限制在“小世界”。讽刺的是，柯南·道尔(Conan Doyle)作为医学博士，对伤口的位置也疏于细查。
和福尔摩斯一样，其笔下的华生(Watson)也是医生，曾经在一次战事中负过枪伤。在“血字的研究”(A Study in Scarlet)中，华生的伤是在肩膀上，但在小说“四签名”(The Sign of the Four)中，华生的伤却变成在腿上了。
企图逆向推理断案，像是一种良心测试。作家把功夫花在情节设计上，却在编造的细节上偷了懒。
即使是莎士比亚也不例外，就拿最著名的悲剧“王子复仇记”(Hamlet)来说吧。
丹麦国王的死因也是草率的，复仇者认定是王叔用水银杀死了父王。假定国王曾患中耳炎并且还造成耳膜穿孔，并且假设水银能通过穿孔流经咽喉而到达胃肠。事实上，水银既不溶于水及醇、醚等有机溶剂，也不溶于盐酸和稀硫酸。在胃肠道中，水银既不溶于酸性的胃液，也不溶于碱性的肠液，没有机会形成可溶性汞盐，根本不会将人毒死。

认识Benford's经验分布的那一刻，不得不深刻意识到其适用范围，一旦企图用它来审查数据，审查者的神经就必须高度紧张。
依据国会2002年通过的法案Sarbanes-Oxley Act第103条，合法成立的美国公众公司会计监督委员会（PCAOB），是会计行业的自律性组织。美国至今没有颁布任何关于会计的法案，基本依靠行业自制。
PCAOB一再打消Benford's Law的使用积极性。审查公众投资项目的程序，更加保守和复杂。
目前只有国税局IRS对收入数据试行过Benford's分布的测试，而且还没有得到联邦(Federal)层面的说服力。
质疑的其中一点在于，原假设是“数据是否做了手脚”，偷换成为“数据是否服从Benford's分布”。
此外，对于小样本的数据，IRS等机构的现成做法是保守的“局部靴襻”(local bootstrap)。“局部”针对的是邻域，“靴襻”则是指从原观测值进行多次模拟，实现出来的各种情形都是从原数据中反复人造的。这是一种“保守”的靴襻，因为要求极端情形(outliers)的数量每次都一样（如此可以避免扩大方差）。

早在2011年，Nigrini博士就对以前五大会计师行之首的Arthur Andersen进行过分析，确实与Benford's Law预测频率差异极大，但都是在它的大客户安然(Enron)、世通( WorldCom)出事以后进行的后验分析。
Nigrini的备录上专门提到检查的数据，必须有明确的规模说明，不能含有身份号码、标号，不能是切头切尾的(truncated)，即没有内设最大值、最小值。
如此，学号、工作号、PIN码、社会安全号、序号、日期等等都必须排除出去。
从范围上看，这与公认会计原则(GAAP)要求审查范围相比明显缩小。

扩张版图

为了扩大试用范围，Princeton的数学教授Steven Miller(2015)试图找出这些懒惰的生成过程，扩大审查的范围。
这就是向着“大数据”扩展，数据的范围扩大到了音乐、视频、图像。
内在的假设是，规定音乐、视频、图像是“乘幂运动”生成的，或许和纯粹随机的“白噪声”(white noise)有别。

乘法和加法一样，本质是相同的，都属于“对称”的群(symmetric group)。
乘法所满足的各种运算律，加法也基本都满足。两种结构极其相似。
关于乘法运动，除开“压缩”和“放大”作用的数乘，我们首先想到就是矩阵。
矩阵的作用就是“对称变换”，比如“翻折”、“旋转”。
在二维平面上看，一个二维向量乘以矩阵$\bigl(\begin{smallmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{smallmatrix}\bigr)$，就是逆时针旋转了$\theta$.
所以，矩阵乘法也可以看做是“对称运动”。
对称，是“捡懒”的实质，以损失或遗忘部分信息为手段，是一种简约的处理原则。
矩阵的秩(rank)，尤其是协方差矩阵的秩，可以理解为自由度(degree of freedom)，承载了没有被遗忘的信息(或记忆)。
可以把协方差矩阵近似看作Cramér–Rao bound，其逆矩阵被称作信息矩阵(information matrix，若降解为数，则是方差的倒数)，恰好等于似然函数(Likelihood)的Hessian矩阵。方差越大，提供的信息越少。
对许多图像的处理，大多着眼于单位面积色块的方差、协方差矩阵。

至于音乐，乐音本身的频率就是几何级数，是通过幂运算产生的。从低八度的C宫到高八度的C，频率正好翻倍。每个八度有12个音律，稍微一算可知，半音阶每个音之间频率公比是$\sqrt[12]{2}$.
这本身就是个乘法运动生成的，所以渐进服从Benford's分布。
此外，作曲家本身也是怠惰的。每个流派为何如此好辨析？原因就在于创作有继承有相似。也许脑子疲劳偷了懒，一个人做的曲子，尤其是自由发挥的时候，不自觉地自我相似，形成个人风格。
做的最离谱的则是巴赫(Bach)，最典型的一首赋格(fugue，特点是没有Canon那种“再现部”)当属Goldberg Variations(BWV 988)，就像镶嵌微型结构一样，内部有无数“自相似”的重复和循环。
另外一首是巴赫晚年创作的“音乐奉献”(Musikalisches Opfer, BWV 1079)，可以看到，这位垂暮之年的巴洛克乐师在波茨坦宫廷如何玩味“自相似”。下面是其中一部分反复重现的乐谱LaTeX代码：

\begin{music}
    \generalsignature{-3}
    \smallmusicsize
    \startextract
    \NOtes\ha{eg}\enotes\bar
    \NOtes\Qqbu babj \enotes
    \Notes\Qqbu bgfg \enotes\bar
    \NOtes\Qqbu ab{=h}{=i}\enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \Notes\Qqbu jgab \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu {_h}fga \enotes
    \NOTes\Qqbu bagf \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \NOTes\Qqbu gabh \enotes
    \NOTes\Qqbu ihba \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu bhij \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \NOTes\Qqbu {_k}ihb \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu {=h}{=i}jk \enotes
    \NOTes\Qqbu lj{=i}{=h} \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \NOTes\Qqbu {=i}jkl \enotes
    \NOTes\Qqbu mkbk \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu jklm \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startpiece
    \NOTes\Qqbu lkj{=i} \enotes\bar
    \NOTes\qu{jbge} \enotes
    \Endpiece  
\end{music}

For Dummies

(For Dummies 原本是“懒人包系列”，从上世纪九十年代开始成为欧美国家家喻户晓的畅销手册，也是最为著名的自学、速查、教学参考系列。)

中国人都知道嵇康有“七不堪”，其中他的疏懒最为出名，多是因为王维的诗句“莫学嵇康懒”。关于西方文学中“懒人”的印象，我最为深刻的是安徒生童话，似乎里面的懒汉特别多，俯拾即是。
18世纪的美国，南方庄园特有的The Lazy South则是美国文学的一条主线。马克·吐温(Mark Twain)笔下的“哈克贝利历险记”(Adventures of Huckleberry)以密苏里州的庄园为背景，以现实主义手法描写出南方生活的懒散，与镀金时代的东北部城市生活形成鲜明对比。其实，这个Huckleberry是双关，Huckleberry friend是青梅竹马、发小的意思，又恰巧与主人公哈克贝利同名。要说偷懒，同样以在密苏里的童年生活作为背景的“汤姆·索耶历险记”(The Adventures of Tom Sawyer)，马克·吐温更是幽默地展示了汤姆·索耶的偷懒技巧，同时也折射出像波利姨妈(Aunt Polly)这样的南方人疏懒的生活状态。

当然，因为语言文字的局限，“懒惰”有时被认为是主观的、感知到的。文章把它当作一个隐喻、修辞，针对的是一种惯性的状态。
由于贝叶斯学派用的都是归纳方法，既不知道系统“惰性”的原因，也不研究其内涵。我们只从表现出来的性质总结这个抽象的状态，就像“瞎子摸象”一样，而且我们也不关心到底需不需要是一头真正的大象。

卜算子

“预测速成”(Crystal ball for dummies)，不是利用的“必然性”，恰好是剔除了各种“必然性”，把剩下的“偶然性”作为原料，提炼加工。
对于不测风云，懒人包仍然追求通天彻地，提供实际的预测手册。
如同填词，如果你完全清楚其词牌名是什么，就可以很容易地预测到下一句用什么词。

做预测，首先要尽快把你武装起来(kit your tools)。
贝叶斯调整的工具包(toolkit)中有一件法宝，那就是“条件期望”(conditional expectation)。而条件期望函数(CEF)，则正是连接已知到未知的桥梁，是回归的基础。
预测者如今言必称“回归”，旨在把真实的$y$“映射到”回归子$x$们组成的空间中，这种映射是线性的，不难想到正是矩阵乘法，$y$的影子就是$X\beta$.
我们通过影子来认识原像，诚如“查拉图士如是说”(Also sprach Zarathustra)，人不过成了“影子的影子”。
然而，要做到计量无害(econometric harmless)，条件期望函数放宽了限制“线性”条件。不得不承认“线性”的确是诱惑人的，我们先看一则演算。
已知的$x$，预测未知的$y$，建立在$x$之上的期望$E(y\left| x \right.)$，以$x$为已知条件，是$y$的条件期望。
简化符号：期望算子${{\mu _x} = E(x)}$，${{\mu _y} = E(y)}$；
方差算子$\sigma _x^2 = {\rm{var}}(x)$，${\sigma _y^2 = {\rm{var}}(y)}$；
协方差${\sigma _{xy}} = {\rm{cov}}(x,y)$，相关度$\rho = {{{\sigma _{xy}}} \over {{\sigma _x}{\sigma _y}}}$.
我们不知道条件期望函数$E(y\left| x \right.)$究竟什么样，但是我们可以假设它是线性的形式，设为：$E(y\left| x \right.) = ax + b$，其中$a$和$b$都是未知参数。
然后，求解$a$和$b$。
根据“迭代期望定律”(law of iterated expectation)，
$E(y) = E\left( {E(y\left| x \right.)} \right) = E\left( {ax + b} \right) = aE(x) + b$，
使用简化记号小结为：${\mu _y} = a{\mu _x} + b$.
根据定义，$E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right){\mu _y}} \right] = 0$，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {y - {\mu _y}} \right)} \right]$.
再祭出“迭代期望定律”利刃，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)y} \right] = E\left[ {E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)y\left| x \right.} \right]} \right]$，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)E\left( {y\left| x \right.} \right)} \right] = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {ax + b} \right)} \right]$.
同样的，$E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)b} \right] = 0$，
带入前式，则有：
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {ax} \right)} \right] = a\left[ {E\left( {{x^2}} \right) - \mu _x^2} \right] = a\sigma _x^2$，
稍加变形，整理得：$a = {{{\sigma _{xy}}} \over {\sigma _x^2}} = \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}$.
将$a$带入条件期望函数的形式，
得到$b = {\mu _y} - a{\mu _x} = {\mu _y} - \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}{\mu _x}$，
所以，$E(y\left| x \right.) = \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}x + {\mu _y} - \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}{\mu _x}$，整理总结为：

$E(y\left| x \right.) = {\mu _y} + \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}\left( {x - {\mu _x}} \right)$

以期望作为预测的策源，实际上彰显“平均”的预测力。然而，在投入实践之前，我们不得不对“平均”(期望)加一块警示牌。
有一则经典佯谬，“中心回归”(regression to mean)现象。事情可以追溯到优生学中所谓的“遗传回归定律”，是达尔文(Darwin)的表弟高尔顿(Galton)，大概的意思是：高个子的父母，孩子往往不容易特别高；矮个子的父母，孩子往往不容易特别矮。各种性状趋于平均值。
这个优生学谬误流传很广，我们首先来看“中心回归”现象成立的条件是什么？
将就高尔顿(Galton)原文的模型，设父母的身高是$x$，子女身高是$y$，线性映射：$y = x\beta + \alpha + \varepsilon$.
所谓映射，就是垂直投影(光线走的距离最短，亦即优化的观点下“误差$\varepsilon$最小”)，影子$x\beta$与误差$\varepsilon$“垂直”。于是，${\mathop{\rm cov}} (x\beta ,\varepsilon ) = 0$.
那么，“中心回归”的意思就是$\beta < 1$.
方差分解：${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x\beta + \alpha + \varepsilon ) = {\mathop{\rm var}} (x\beta + \varepsilon )$，
则${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x\beta ) + {\mathop{\rm var}} (\varepsilon ) + 2{\mathop{\rm cov}} (x\beta ,\varepsilon )$，
所以，${\mathop{\rm var}} (y) = {\beta ^2}{\mathop{\rm var}} (x) + {\mathop{\rm var}} (\varepsilon )$.
如果人口性状是稳定的，${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x) = {\sigma ^2}$，那么，$\beta^2 = 1 - {{{\mathop{\rm var}} (\varepsilon )} \over {{\sigma ^2}}}$，所以“中心回归”要求“收敛”.
如果人口性状是发散的，亦即${\mathop{\rm var}} (y) > {\mathop{\rm var}} (x)$，那么${\beta ^2} > 1 - {{{\mathop{\rm var}} (\varepsilon )} \over {{\mathop{\rm var}} (x)}}$，则不一定存在“中心回归”的现象。

在这个背景下，我们继续来看，实际操作中风险官如何利用“均值”(期望)。
预测是置身样本之外(out-of-sample)，所以需要一个载体。“平均”的目的很明确，就是要让“大数定律”(LLN)有用武之地。
第一步是找出风险引擎(risk drivers)，比如$y$.
然后从中剔除掉所有“必然因素”，比如趋势、聚落特点等等。剩下的东西就更加“随机”，叫做“不变量”(invariants)，比如$\varepsilon$.
一般需要各种检验测试这些随机“不变量”，比如要求其“独立同分布”(i.i.d.)，本质是要求它们在时间上具有“可重复性”。
“可重复性”，正是“大数定律”的用武之地。
对这套伎俩，情报工学(或信息工程，information engineering)流行着这样一种说法：误差倦怠了，或者误差也喜欢“从众”。
值得注意的是，“独立同分布”比白噪声(white noise)还要严苛，要求同分布是“可重复性”的来源。然而，最简单的“随机漫步”(random walk)，单位根(unit root)$y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t$并不是“不变量”，而只有其增量(increments)才是。
这之后，从这些“不变量”获得先验联合分布$f_{\varepsilon}$，再通过映射(把影子映射回去)，获得联合风险引擎的分布$f_y$，剩下的工作就可以交接和上报流动性风险部门了。

另外一点则是“因果联系”(causality)，科学家要求预测有根据。因果联系来自于“可重复的”实验，一般需要构造“类实验研究”(quasi experiment)。实际操作中，这个“可重复性”也是针对的误差(error)。
可是，当今许多计量工作者检验“误差是否独立同分布”的时候，实际都是通过检验拟合“残差”(residual)，因为“真实误差”无法获得。但这些年，不少英国的数学家(比如2012年Parente和Silva)提出，残差的“可重复性”对于误差的“可重复性”既不充分、也不必要。
细究下去，检验方法层出不穷，却都不尽人意。英国人的态度则是学学“差不多先生”，“ignorance is bliss”(或者难得糊涂)，你自然会想到下联是'tis folly to be wise(是为愚者之智)。

不必躬亲

站在“善恶的彼岸”(Jenseits von Gut und Böse)，关于“惰”，我们不执任何道德观念，纯粹从神话官能来理解。
模仿Nietzsche的口吻，我们可以断言“常常谈论自己的人，往往只是为了隐藏自己。”而那些与懒惰战斗的人，则应该当心自己变成懒惰。这往往是因为“人最终喜爱的是自己的欲望，而不是自己想要的东西”。

不得不说，懒是因为认为世界是理想的。对待各种数据的理想主义就是“同质性”，相容、相互不矛盾、相似相近，或者渐进地一致。
“容”和“装”是一个意思。相容就是“一个装一个”的想法，这种想法抽象地说，就是“过滤”(Filtration)。不难观察到，测度空间一类的抽象结构总是要定义在“镶嵌到大的结构中”才可以进行，一个套一个。
布尔巴基学派为什么需要这种俄罗斯套娃一般的“过滤”呢？
这跟我们的逻辑有关，“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。这个定理是不可思议的数学家哥德尔(Gödel)提出的，是他“不完备性定理”的一条重要推论。
另外一个意见是，对待“不懂”的态度是如何：无论承不承认，我们都喜欢捡懒，比如类比、举例、举一反三，实际上就并不是在就事论事，而是在守株待兔。
专业的数学训练，当然是必须的，但不应该总是闭门造车。

西点一直致力于研究“二战”时期德军的士兵训练及实战操行，其中有一个看似松散的管理策略：Auftragstaktik，这个词是反对Befehlstaktik产生的，后者指的是一种以执行一系列指令为为本位的实际战术(tactics)、直译为指令本位(command-oriented)战术。前苏联的伏龙芝军校(В-А-Г-Ш-В-С-Р)采取的就是Befehlstaktik，在纳粹内部也一直流行这种勤劳严谨的战术。
可是从1942年开始，德军开始改进战术上的协调性。以完成任务(mission)为本位的Auftragstaktik，成为新的战术。但是它也架空了领袖，形成非常时期的作战安排。
Auftrag照字面理解是任务的意思，从这个意义上看类似Drucker的“目标管理”(MBO)，但是细查西点上世纪60年代的文献，发觉显然不是一个概念。
同英国皇家空军的“双C”(Control-command, C2法则)相比，Auftragstaktik有一套OODA的反馈回路(feedback loop)，更加“去中心化”。士兵以逸待劳，并获得“授权”(enablement)，这样实际上没有对上级负责。
而且Auftragstaktik首先是对“决策”进行了弱化，“观察”和“行动”成为了重点，并且时刻适应和调整。观察实际情况，着眼信息的“真实性”(Eigentlichkeit，英译Authentic或者正宗性)，减少了误判的几率和沟通耗费的时间成本。
同时，Auftragstaktik让战斗成为游戏一样快乐，没有一种“指令”的压迫感，而战斗过程本身带来的快感带动部队前进，调动了中层兵士(cadets)的积极性。
此外，领导者只在“紧急情况”的时候高度紧张地工作，所以也让领导者从日常事务中解放出来、腾出时间去进行外交谈判来斡旋。部队的效率也因此大大提高。

可能是受报告文学的影响，数学工作者总是要给人以“忙碌”的印象。
大数学家克莱因(Kline)讲过这样一则寓言，意味深远：“一座美丽的城堡已经在莱茵河畔矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群忙碌的蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网。于是它们慌乱地修补起来，因为它们以为，正是蛛网支撑着整个城堡。”