怠惰因循

计然生

欧洲神话中有一个Belphegor，一直以来被认为是懒惰之神，其实正式译名就是“七罪宗”，也可以理解为地狱的一个首领，算作亚述的魔神之一，以厌恶女性著称。要说司掌懒惰，在古希腊有一个懒惰女神Aergia，是以太( Aether)和该亚(Gaia)所生。惰性（Inertia）应该和Aergia这个名词同源，都指的是不主动、反动的意思。
后来这些异教的神，包括阿波罗在内都被流放了。随后约两千多年，流亡的众神也被放牧到很久远的地方。

但丁《神曲》的地狱篇(Inferno)里面对于懒惰没有太多的责难，把天主教“七宗罪”中的傲慢、懒惰，替换为异端、施暴、欺诈以及背叛。只在炼狱篇(Purgatorio)里稍微谈及懒惰这个话题，因此并没有引起耶路撒冷方面的太大注意。

无论是老三论还是新三论，懒惰，这一话题是经久不衰的，有着一种决定论的味道。系统是懒的，这句话至少可以延长很多研究者的寿命，有时甚至是可喜的：似乎就像是被“授权”一样。

勒•夏特列定律

懒惰的性质很容易从实验中归纳，比如磁场中的洛伦兹力、惯性。定性分析中的勒•夏特列定律(Le Châtelier's Principle)，也是这种懒惰的现象，缓冲对竭力维持原有的平衡。
萨默尔森(Samulson)版本的勒•夏特列定律，在部分均衡理论(PET)中用得很广，其大意是：“均衡朝着减小改变原有均衡的方向移动。”
其实这直接针对了均衡固有的惰性。它有一个实用的推论：“价格在长期的影响远大于在短期的影响。”

厂商的决策

我们看一个简单的例证；厂商的决策，已知资本成本$v$、工资$w$、产品价格$P$，选择资本、劳工，实现利润$\pi$最大化：

$\underset{k,l}{max} \: \pi (P,v,w){\rm{ = }}Pf(k,l){\rm{ - }}wl{\rm{ - }}vk$

根据包络定理(Envelope Theorem)，中长期的最优解是：
${q^*}(P,v,w) = {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial P}}$，
${l^*}(P,v,w) = - {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial w}}$，
${k^*}(P,v,w) = - {{\partial {\pi ^*}} \over {\partial v}}$.

而在短期时，资本设备保持在固定水平$\bar k$，条件最优解变成了：
${l^c}(P,w,\bar k)$和${q^c}(P,w,\bar k)$.
利用恒等式：${q^*}(P,v,w) = {q^c}(P,w,{k^*}(P,v,w))$，
所以，自然就有产出的Slutsky's分解：
${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial P}} + {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial P}}$，
${{\partial {q^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
对第二个式子恒等变形：${{\partial {q^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
再根据杨氏定理(Young's Theorem)，
${{\partial {q^*}(P,v,w)} \over {\partial v}} = {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial P\partial v}} = {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial v\partial P}} = - {{\partial {k^*}(P,v,w)} \over {\partial P}}$，
所以，恒等变形为：${{\partial {q^c}} \over {\partial {k^*}}} = {{ - {{\partial {k^*}} \over {\partial P}}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$.
带入第一个产出的Slutsky's展式，得到：

${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} = {{\partial {q^c}} \over {\partial P}} + {{ - {{\left( {{{\partial {k^*}} \over {\partial P}}} \right)}^2}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$

对于大多数正常商品，有一条被马歇尔(Marshall)称为“需求第一定律”(First Law of Demand)的假设：需求和自身价格反向变化。
如此，则${{\partial {k^*}} \over {\partial v}} < 0$，所以，产出的短期变动就会小于长期变动 ${{\partial {q^*}} \over {\partial P}} \ge {{\partial {q^c}} \over {\partial P}}$.

同理利用恒等式：${l^*}(P,v,w) = {l^c}(P,w,{k^*}(P,v,w))$，
得到需求的Slutsky's分解：
${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial w}} + {{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial w}}$，
${{\partial {l^*}} \over {\partial v}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}}{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}$.
后者恒等变形：${{\partial {l^c}} \over {\partial {k^*}}} = {{{{\partial {l^*}} \over {\partial v}}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$.
根据杨氏定理(Young's Theorem)，
${{\partial {k^*}(P,v,w)} \over {\partial w}} = - {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial v\partial w}} = - {{{\partial ^2}{\pi ^*}} \over {\partial w\partial v}} = {{\partial {l^*}(P,v,w)} \over {\partial v}}$.
由第一个需求的Slutsky's展式代换得到：

${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} = {{\partial {l^c}} \over {\partial w}} + {{{{\left( {{{\partial {k^*}} \over {\partial w}}} \right)}^2}} \over {{{\partial {k^*}} \over {\partial v}}}}$

同样假设资本和劳动力都是正常商品，则${{\partial {k^*}} \over {\partial v}} < 0$，${{\partial {l^*}} \over {\partial w}} < 0$.
因此，需求的短期变动就会小于长期变动$|{{\partial {l^*}} \over {\partial w}}| \ge |{{\partial {l^c}} \over {\partial w}}|$. $\square$

特例

此外，“勒•夏特列定律”暗含的一条推论则是：“短期需求曲线的弹性小于长期需求的弹性。”
还是以厂商为例来看一个具体的情形，计算其边际成本曲线：
生产技术是Cobb-Douglas的， $q = f\left( {k,l} \right) = {k^{0.4}}{l^{0.4}}$.
于是，推导出中长期的总成本函数为：$TC(q) = {{0.8} \over {0.4}}{q^{{1 \over {0.8}}}} = 2{q^{1.25}}$.
求导，得到中长期的边际成本函数：
$MC(q) = 2.5{q^{0.25}}$.
长期均衡解为：
均衡价格${p^*} = 2.5$，均衡产出${q^*} = 1$，均衡需求${k^*} = {l^*} = 1$.
删繁就简，假设短期内资本固定在$\bar k=1$，
则短期生产函数变成：${q^s} = {l^{0.4}}$，
所以得到短期总成本函数：$STC(q) = 1 + {q^{2.5}}$，
求导得出短期边际成本函数：
$SMC(q) = 2.5{q^{1.5}}$.
将中长期和短期的边际成本曲线画出来就可以看出规律：中长期曲线更为平坦，短期的函数曲线较陡峭，所以长期的弹性大于短期的弹性。

Benford's Law

系统的慵懒一旦成为一种经验，挖掘者就开始幻想以逸待劳。
榨取过程中有一条奇异规律，叫做Benford's Law，或者称数据是懒惰的。其大意是，随机数据极有可能服从这样一种规律：“以1开头的数最多，依次减少到，以9开头的数最少”。

首位数字为$d$的数出现的概率（频率），大致是$\lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)$.

这个直观的现象可以从你每个月消费记录上获得验证。
我还有一个办法：九九表，再熟悉不过的。把它扩增到100x100的规模，去掉第一行、第一列。实际上这是我们生产“合数”的办法，没有囊括的都是“素数”。你会看到“1”开头的数基本上比“9”开头的数九倍还多，有着基本清晰的递减规律。

增长耗时的视角

对于这个经验规律有一个简懒的解释。
我们可以理解为：“从100增长到200的困难程度，远远大于从900增长到1000的困难程度。”
从1增长到2的困难程度，与从10增长到20的困难程度，本质上没有差别。它们都是从“1”开头的数增长到“2”开头的数。
$d$增长到$d+1$，假设使用复利计算，利率为$r$.
我们把这种困难程度理解为一种惰性，亦即增长过程所耗费的时间。
1增长到10的过程中，1增长到2耗费的时间最长，依次加快，9增长到10最快。
假设$d$增长到$d+1$耗费的时间为$t$，从1增长到10耗费的时间为$T$.
所以，$d{(1 + r)^t} = (d + 1)$.
$t = {{\lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)} \over {\lg \left( {1 + r} \right)}}$，
$T = {{\lg 10} \over {\lg \left( {1 + r} \right)}}$.
增长耗时的占比就是：
${t \over T} = \lg \left( {{{d + 1} \over d}} \right)$.
可以看出，符合Benford's Law的经验，检验出以“1”开头的数占比约30.10%，依次递减，以“9”开头的数占比约4.58%. $\square$

Caveats (警示牌)

A practiced statistician might apply
The apt analogy of Benford's law
And I will not, as one of them, deny
(本土流行的诗体，和十四行诗不同，只前后两句押尾韵，而且中间只一句)

值得注意的是，增长过程所等待的时间应该受到许多“限制”。
一般而言，金融财务数据并非大数据，其中复利增长方式本身就是几何级数。我们举的九九表这一案，也是通过乘法生成的。
Kossovsky在2015年提出限制，Benford's Law的经验分布适用于以下情况：

• 数据的加总，比如现金流量表、损益表、资产负债表这一类的运动；
• 随机线性组合、凸组合，比如加了权的各种平均运动；
• 随机的乘法过程，包括前面提到的这种幂运算；
• 以上各种运算的随机逆运算.

在固定的单位时间里，所“等待的时间”，首先让人想到并不是Benford's分布，往往是泊松(Poisson)过程。而后者并不容易生成Benford's分布。
泊松过程最初是一种离散的随机过程，却连接了连续的时间。
它是针对于小概率事件，但却是必然要发生的事件。撇开这个过程，我们先看一个典型的离散分布。
对于泊松分布，离散的概率分布函数(pdf)是：$f(\xi) = {{{e^{ - \lambda }}{\lambda ^\xi }} \over {\xi !}}$.
$\xi$是随机的，代表单位时间内事件发生的数量。
这里的$\lambda$视作单位时间$[0,1]$内发生的“平均频率”，也就是在单位时间内平均有多少起事件发生。
你知道34街十字路口每周平均一起车祸，那么每周内车祸数量就服从泊松分布$\lambda=1$，一个月内车祸数量服从泊松分布$\lambda=4$.
在这个分布的基础上我们来看泊松过程，生成的比较有代表性的是Gamma分布，再特别地看其中的指数(Exponential)分布。
指数分布的pdf是：$f(x) = {1 \over \theta }{e^{ - {x \over \theta }}}$.
这里的$x$是随机变量，代表“到事件第一次发生所需要等待的时间”。
这个指数分布是由一个泊松过程生成的：
如果$x$恰好是单位时间的话，小概率事件发生的“平均频率”就正好是$\lambda = {1 \over \theta }$.
$\theta$是尺度参数，可以被简单地理解成“平均的等待时间”。
想象一下，你躺在空旷的草坪上，仰望夜空，心里知道每个流星平均每半个小时出现一次。但它们并不一定准时，而且也跟你等待了多久没有关系。
这在随机过程之中，联通了“连续”与“离散”。
此外，这个指数分布还蕴含了一点，等待的时间是无记忆的；其寓意是高阶的随机性。

这几种关于“等待时间”的分布函数，其形态是完全不同的，而且相互之间也并不存在人们通常预计到的收敛速度的关系。
“等待时间”的经验分布，暗含了随机数据属于哪种随机性。你可能会说，Benford's分布是那些“慵懒”的过程生成的。

生成过程

按照Kossovsky(2015)的说法，幂运算生成的程序算得上是这样的慵懒过程。那么随机的幂函数如何生成呢？
你我心照不宣，首先想到的一定是差分方程的通解，它们一般都是幂函数。

在连续的情形则是微分方程，求通解也可以产生指数函数。这些随机函数则可以收敛于Benford's分布。
在偏微分方程里面则不尽然，举一个特别的反例。
求解傅里叶(Fourier)的热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，
难以化简，可以说通解非常多，当然可以猜到一种通解长成这样：$u(t,x)=Cx^2+2Ct$.
由于$lg|u|$的小数部分不服从均匀分布，这个通解既不在空间上($x$)收敛到Benford's分布、也不在时间上($t$)收敛到Benford's分布。
热传导方程的另外一个通解：$u(t,x)=e^{-C^2t}sin(Cx)$，
生成的这个通解，作为一个随机变量，在时间上($t$)收敛到Benford's分布，但是不在空间上($x$)收敛到Benford's分布。
再求解，受正态分布pdf的启发构造一个幂律形式，热传导方程又有了这个解：$u(t,x)=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$，
它在空间上($x$)倒是收敛到Benford's分布，却又不在时间上($t$)收敛到Benford's分布。
继续构造该方程的通解，留心一点，这种指数形式的随机函数渐进服从Benford's分布。
$u(t,x)=e^{C^2t+Cx}$也是它的通解，无论在空间上($x$)还是在时间上($t$)都渐进服从Benford's分布。
目前走着频率学派的路子，一定想拿腔拿调问问：要不要求参与这些幂指运动的$x$们还有$t$们，符合独立同分布(i.i.d.)？
90年代讨论这个问题还算比较多，不过都是无事生非(much ado about nothing)。拿掉同分布，再看独立，也一样是画蛇添足的(gild the lily)。
独立，并不一定意味着随机。令人叹惋，独立甚至在“限制”随机的程度，“限制了联合分布函数(joint pdf)产生方式，它们直接由边际分布函数(marginal pdf)仅仅通过乘法运算得到”。

走出实验室

自然界有很多捡懒的过程，偷工减料，最常见的一种办法就是复制和对称。某些树叶的叶脉，即便再细微，也和树枝、树根的分叉方法如出一辙；雪花也是，还有螺壳、花菜等等，细微的分型(fractal)和整体的形态基本是相似。
包括对称也是，实际是信息的缺失，一半信息是另一半信息的复制。
生成它们的过程，我们就认为是慵懒的。

从有限的理性思维过程而言，欧几里得般的演绎，显然比穆勒(Mill)的归纳来得轻松、一劳永逸。
懒人并不热衷归纳方法，尤其是逆向归纳(backward induction)，也是由于归纳更容易错误百出、事倍功半。

然而，使用归纳则是耗时费力的，而且很难避免误判。
早在17世纪，拉普拉斯(Laplace)就提出用“概率”在法庭断案，遭到伯努利家族(Bernoulli's )包括傅里叶(Fourier)在内的强烈反对，因为统计的本质也在于归纳法。
即便是福尔摩斯(Holmes)也会犯错，他的推理技巧大部分是缜密的归纳方法。不过，“修道院公学绑架案”之中他的逆向归纳出了巨大的纰漏。
也许小说可以把归纳的随机性限制在“小世界”。讽刺的是，柯南·道尔(Conan Doyle)作为医学博士，对伤口的位置也疏于细查。
和福尔摩斯一样，其笔下的华生(Watson)也是医生，曾经在一次战事中负过枪伤。在“血字的研究”(A Study in Scarlet)中，华生的伤是在肩膀上，但在小说“四签名”(The Sign of the Four)中，华生的伤却变成在腿上了。
企图逆向推理断案，像是一种良心测试。作家把功夫花在情节设计上，却在编造的细节上偷了懒。
即使是莎士比亚也不例外，就拿最著名的悲剧“王子复仇记”(Hamlet)来说吧。
丹麦国王的死因也是草率的，复仇者认定是王叔用水银杀死了父王。假定国王曾患中耳炎并且还造成耳膜穿孔，并且假设水银能通过穿孔流经咽喉而到达胃肠。事实上，水银既不溶于水及醇、醚等有机溶剂，也不溶于盐酸和稀硫酸。在胃肠道中，水银既不溶于酸性的胃液，也不溶于碱性的肠液，没有机会形成可溶性汞盐，根本不会将人毒死。

认识Benford's经验分布的那一刻，不得不深刻意识到其适用范围，一旦企图用它来审查数据，审查者的神经就必须高度紧张。
依据国会2002年通过的法案Sarbanes-Oxley Act第103条，合法成立的美国公众公司会计监督委员会（PCAOB），是会计行业的自律性组织。美国至今没有颁布任何关于会计的法案，基本依靠行业自制。
PCAOB一再打消Benford's Law的使用积极性。审查公众投资项目的程序，更加保守和复杂。
目前只有国税局IRS对收入数据试行过Benford's分布的测试，而且还没有得到联邦(Federal)层面的说服力。
质疑的其中一点在于，原假设是“数据是否做了手脚”，偷换成为“数据是否服从Benford's分布”。
此外，对于小样本的数据，IRS等机构的现成做法是保守的“局部靴襻”(local bootstrap)。“局部”针对的是邻域，“靴襻”则是指从原观测值进行多次模拟，实现出来的各种情形都是从原数据中反复人造的。这是一种“保守”的靴襻，因为要求极端情形(outliers)的数量每次都一样（如此可以避免扩大方差）。

早在2011年，Nigrini博士就对以前五大会计师行之首的Arthur Andersen进行过分析，确实与Benford's Law预测频率差异极大，但都是在它的大客户安然(Enron)、世通( WorldCom)出事以后进行的后验分析。
Nigrini的备录上专门提到检查的数据，必须有明确的规模说明，不能含有身份号码、标号，不能是切头切尾的(truncated)，即没有内设最大值、最小值。
如此，学号、工作号、PIN码、社会安全号、序号、日期等等都必须排除出去。
从范围上看，这与公认会计原则(GAAP)要求审查范围相比明显缩小。

扩张版图

为了扩大试用范围，Princeton的数学教授Steven Miller(2015)试图找出这些懒惰的生成过程，扩大审查的范围。
这就是向着“大数据”扩展，数据的范围扩大到了音乐、视频、图像。
内在的假设是，规定音乐、视频、图像是“乘幂运动”生成的，或许和纯粹随机的“白噪声”(white noise)有别。

乘法和加法一样，本质是相同的，都属于“对称”的群(symmetric group)。
乘法所满足的各种运算律，加法也基本都满足。两种结构极其相似。
关于乘法运动，除开“压缩”和“放大”作用的数乘，我们首先想到就是矩阵。
矩阵的作用就是“对称变换”，比如“翻折”、“旋转”。
在二维平面上看，一个二维向量乘以矩阵$\bigl(\begin{smallmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{smallmatrix}\bigr)$，就是逆时针旋转了$\theta$.
所以，矩阵乘法也可以看做是“对称运动”。
对称，是“捡懒”的实质，以损失或遗忘部分信息为手段，是一种简约的处理原则。
矩阵的秩(rank)，尤其是协方差矩阵的秩，可以理解为自由度(degree of freedom)，承载了没有被遗忘的信息(或记忆)。
可以把协方差矩阵近似看作Cramér–Rao bound，其逆矩阵被称作信息矩阵(information matrix，若降解为数，则是方差的倒数)，恰好等于似然函数(Likelihood)的Hessian矩阵。方差越大，提供的信息越少。
对许多图像的处理，大多着眼于单位面积色块的方差、协方差矩阵。

至于音乐，乐音本身的频率就是几何级数，是通过幂运算产生的。从低八度的C宫到高八度的C，频率正好翻倍。每个八度有12个音律，稍微一算可知，半音阶每个音之间频率公比是$\sqrt[12]{2}$.
这本身就是个乘法运动生成的，所以渐进服从Benford's分布。
此外，作曲家本身也是怠惰的。每个流派为何如此好辨析？原因就在于创作有继承有相似。也许脑子疲劳偷了懒，一个人做的曲子，尤其是自由发挥的时候，不自觉地自我相似，形成个人风格。
做的最离谱的则是巴赫(Bach)，最典型的一首赋格(fugue，特点是没有Canon那种“再现部”)当属Goldberg Variations(BWV 988)，就像镶嵌微型结构一样，内部有无数“自相似”的重复和循环。
另外一首是巴赫晚年创作的“音乐奉献”(Musikalisches Opfer, BWV 1079)，可以看到，这位垂暮之年的巴洛克乐师在波茨坦宫廷如何玩味“自相似”。下面是其中一部分反复重复的乐谱LaTeX代码：

    \begin{music}
    \generalsignature{-3}
    \smallmusicsize
    \startextract
    \NOtes\ha{eg}\enotes\bar
    \NOtes\Qqbu babj \enotes
    \Notes\Qqbu bgfg \enotes\bar
    \NOtes\Qqbu ab{=h}{=i}\enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \Notes\Qqbu jgab \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu {_h}fga \enotes
    \NOTes\Qqbu bagf \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \NOTes\Qqbu gabh \enotes
    \NOTes\Qqbu ihba \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu bhij \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \NOTes\Qqbu {_k}ihb \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu {=h}{=i}jk \enotes
    \NOTes\Qqbu lj{=i}{=h} \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startextract
    \NOTes\Qqbu {=i}jkl \enotes
    \NOTes\Qqbu mkbk \enotes\bar
    \NOTes\Qqbu jklm \enotes
    \mulooseness=-1\endextract
    \startpiece
    \NOTes\Qqbu lkj{=i} \enotes\bar
    \NOTes\qu{jbge} \enotes
    \Endpiece  
    \end{music}

For Dummies

(For Dummies 原本是“懒人包系列”，从上世纪九十年代开始成为欧美国家家喻户晓的畅销手册，也是最为著名的自学、速查、教学参考系列。)

中国人都知道嵇康有“七不堪”，其中他的疏懒最为出名，多是因为王维的诗句“莫学嵇康懒”。关于西方文学中“懒人”的印象，我最为深刻的是安徒生童话，似乎里面的懒汉特别多，俯拾即是。
18世纪的美国，南方庄园特有的The Lazy South则是美国文学的一条主线。马克·吐温(Mark Twain)笔下的“哈克贝利历险记”(Adventures of Huckleberry)以密苏里州的庄园为背景，以现实主义手法描写出南方生活的懒散，与镀金时代的东北部城市生活形成鲜明对比。其实，这个Huckleberry是双关，Huckleberry friend是青梅竹马、发小的意思，又恰巧与主人公哈克贝利同名。要说偷懒，同样以在密苏里的童年生活作为背景的“汤姆·索耶历险记”(The Adventures of Tom Sawyer)，马克·吐温更是幽默地展示了汤姆·索耶的偷懒技巧，同时也折射出像波利姨妈(Aunt Polly)这样的南方人疏懒的生活状态。

当然，因为语言文字的局限，“懒惰”有时被认为是主观的、感知到的。文章把它当作一个隐喻、修辞，针对的是一种惯性的状态。
由于贝叶斯学派用的都是归纳方法，既不知道系统“惰性”的原因，也不研究其内涵。我们只从表现出来的性质总结这个抽象的状态，就像“瞎子摸象”一样，而且我们也不关心到底需不需要是一头真正的大象。

卜算子

“预测速成”(Crystal ball for dummies)，不是利用的“必然性”，恰好是剔除了各种“必然性”，把剩下的“偶然性”作为原料，提炼加工。
对于不测风云，懒人包仍然追求通天彻地，提供实际的预测手册。
如同填词，如果你完全清楚其词牌名是什么，就可以很容易地预测到下一句用什么词。

做预测，首先要尽快把你武装起来(kit your tools)。
贝叶斯调整的工具包(toolkit)中有一件法宝，那就是“条件期望”(conditional expectation)。而条件期望函数(CEF)，则正是连接已知到未知的桥梁，是回归的基础。
预测者如今言必称“回归”，旨在把真实的$y$“映射到”回归子$x$们组成的空间中，这种映射是线性的，不难想到正是矩阵乘法，$y$的影子就是$X\beta$.
我们通过影子来认识原像，诚如“查拉图士如是说”(Also sprach Zarathustra)，人不过成了“影子的影子”。
然而，要做到计量无害(econometric harmless)，条件期望函数放宽了限制“线性”条件。不得不承认“线性”的确是诱惑人的，我们先看一则演算。
已知的$x$，预测未知的$y$，建立在$x$之上的期望$E(y\left| x \right.)$，以$x$为已知条件，是$y$的条件期望。
简化符号：期望算子${{\mu _x} = E(x)}$，${{\mu _y} = E(y)}$；
方差算子$\sigma _x^2 = {\rm{var}}(x)$，${\sigma _y^2 = {\rm{var}}(y)}$；
协方差${\sigma _{xy}} = {\rm{cov}}(x,y)$，相关度$\rho = {{{\sigma _{xy}}} \over {{\sigma _x}{\sigma _y}}}$.
我们不知道条件期望函数$E(y\left| x \right.)$究竟什么样，但是我们可以假设它是线性的形式，设为：$E(y\left| x \right.) = ax + b$，其中$a$和$b$都是未知参数。
然后，求解$a$和$b$。
根据“迭代期望定律”(law of iterated expectation)，
$E(y) = E\left( {E(y\left| x \right.)} \right) = E\left( {ax + b} \right) = aE(x) + b$，
使用简化记号小结为：${\mu _y} = a{\mu _x} + b$.
根据定义，$E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right){\mu _y}} \right] = 0$，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {y - {\mu _y}} \right)} \right]$.
再祭出“迭代期望定律”利刃，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)y} \right] = E\left[ {E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)y\left| x \right.} \right]} \right]$，
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)E\left( {y\left| x \right.} \right)} \right] = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {ax + b} \right)} \right]$.
同样的，$E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)b} \right] = 0$，
带入前式，则有：
${\sigma _{xy}} = E\left[ {\left( {x - {\mu _x}} \right)\left( {ax} \right)} \right] = a\left[ {E\left( {{x^2}} \right) - \mu _x^2} \right] = a\sigma _x^2$，
稍加变形，整理得：$a = {{{\sigma _{xy}}} \over {\sigma _x^2}} = \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}$.
将$a$带入条件期望函数的形式，
得到$b = {\mu _y} - a{\mu _x} = {\mu _y} - \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}{\mu _x}$，
所以，$E(y\left| x \right.) = \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}x + {\mu _y} - \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}{\mu _x}$，整理总结为：

$E(y\left| x \right.) = {\mu _y} + \rho {{{\sigma _y}} \over {{\sigma _x}}}\left( {x - {\mu _x}} \right)$

以期望作为预测的策源，实际上彰显“平均”的预测力。然而，在投入实践之前，我们不得不对“平均”(期望)加一块警示牌。
有一则经典佯谬，“中心回归”(regression to mean)现象。事情可以追溯到优生学中所谓的“遗传回归定律”，是达尔文(Darwin)的表弟高尔顿(Galton)，大概的意思是：高个子的父母，孩子往往不容易特别高；矮个子的父母，孩子往往不容易特别矮。各种性状趋于平均值。
这个优生学谬误流传很广，我们首先来看“中心回归”现象成立的条件是什么？
将就高尔顿(Galton)原文的模型，设父母的身高是$x$，子女身高是$y$，线性映射：$y = x\beta + \alpha + \varepsilon$.
所谓映射，就是垂直投影(光线走的距离最短，亦即优化的观点下“误差$\varepsilon$最小”)，影子$x\beta$与误差$\varepsilon$“垂直”。于是，${\mathop{\rm cov}} (x\beta ,\varepsilon ) = 0$.
那么，“中心回归”的意思就是$\beta < 1$.
方差分解：${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x\beta + \alpha + \varepsilon ) = {\mathop{\rm var}} (x\beta + \varepsilon )$，
则${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x\beta ) + {\mathop{\rm var}} (\varepsilon ) + 2{\mathop{\rm cov}} (x\beta ,\varepsilon )$，
所以，${\mathop{\rm var}} (y) = {\beta ^2}{\mathop{\rm var}} (x) + {\mathop{\rm var}} (\varepsilon )$.
如果人口性状是稳定的，${\mathop{\rm var}} (y) = {\mathop{\rm var}} (x) = {\sigma ^2}$，那么，$\beta^2 = 1 - {{{\mathop{\rm var}} (\varepsilon )} \over {{\sigma ^2}}}$，所以“中心回归”要求“收敛”.
如果人口性状是发散的，亦即${\mathop{\rm var}} (y) > {\mathop{\rm var}} (x)$，那么${\beta ^2} > 1 - {{{\mathop{\rm var}} (\varepsilon )} \over {{\mathop{\rm var}} (x)}}$，则不一定存在“中心回归”的现象。

在这个背景下，我们继续来看，实际操作中风险官如何利用“均值”(期望)。
预测是置身样本之外(out-of-sample)，所以需要一个载体。“平均”的目的很明确，就是要让“大数定律”(LLN)有用武之地。
第一步是找出风险引擎(risk drivers)，比如$y$.
然后从中剔除掉所有“必然因素”，比如趋势、聚落特点等等。剩下的东西就更加“随机”，叫做“不变量”(invariants)，比如$\varepsilon$.
一般需要各种检验测试这些随机“不变量”，比如要求其“独立同分布”(i.i.d.)，本质是要求它们在时间上具有“可重复性”。
“可重复性”，正是“大数定律”的用武之地。
对这套伎俩，情报工学(或信息工程，information engineering)流行着这样一种说法：误差倦怠了，或者误差也喜欢“从众”。
值得注意的是，“独立同分布”比白噪声(white noise)还要严苛，要求同分布是“可重复性”的来源。然而，最简单的“随机漫步”(random walk)，单位根(unit root)$y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t$并不是“不变量”，而只有其增量(increments)才是。
这之后，从这些“不变量”获得先验联合分布$f_{\varepsilon}$，再通过映射(把影子映射回去)，获得联合风险引擎的分布$f_y$，剩下的工作就可以交接和上报流动性风险部门了。

另外一点则是“因果联系”(causality)，科学家要求预测有根据。因果联系来自于“可重复的”实验，一般需要构造“类实验研究”(quasi experiment)。实际操作中，这个“可重复性”也是针对的误差(error)。
可是，当今许多计量工作者检验“误差是否独立同分布”的时候，实际都是通过检验拟合“残差”(residual)，因为“真实误差”无法获得。但这些年，不少英国的数学家(比如2012年Parente和Silva)提出，残差的“可重复性”对于误差的“可重复性”既不充分、也不必要。
细究下去，检验方法层出不穷，却都不尽人意。英国人的态度则是学学“差不多先生”，“ignorance is bliss”(或者难得糊涂)，你自然会想到下联是'tis folly to be wise(是为愚者之智)。

不必躬亲

站在“善恶的彼岸”(Jenseits von Gut und Böse)，关于“惰”，我们不执任何道德观念，纯粹从神话官能来理解。
模仿Nietzsche的口吻，我们可以断言“常常谈论自己的人，往往只是为了隐藏自己。”而那些与懒惰战斗的人，则应该当心自己变成懒惰。这往往是因为“人最终喜爱的是自己的欲望，而不是自己想要的东西”。

不得不说，懒是因为认为世界是理想的。对待各种数据的理想主义就是“同质性”，相容、相互不矛盾、相似相近，或者渐进地一致。
“容”和“装”是一个意思。相容就是“一个装一个”的想法，这种想法抽象地说，就是“过滤”(Filtration)。不难观察到，测度空间一类的抽象结构总是要定义在“镶嵌到大的结构中”才可以进行，一个套一个。
布尔巴基学派为什么需要这种俄罗斯套娃一般的“过滤”呢？
这跟我们的逻辑有关，“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。这个定理是不可思议的数学家哥德尔(Gödel)提出的，是他“不完备性定理”的一条重要推论。
另外一个意见是，对待“不懂”的态度是如何：无论承不承认，我们都喜欢捡懒，比如类比、举例、举一反三，实际上就并不是在就事论事，而是在守株待兔。
专业的数学训练，当然是必须的，但不应该总是闭门造车。

西点一直致力于研究“二战”时期德军的士兵训练及实战操行，其中有一个看似松散的管理策略：Auftragstaktik，这个词是反对Befehlstaktik产生的，后者指的是一种以执行一系列指令为为本位的实际战术(tactics)、直译为指令本位(command-oriented)战术。前苏联的伏龙芝军校(В-А-Г-Ш-В-С-Р)采取的就是Befehlstaktik，在纳粹内部也一直流行这种勤劳严谨的战术。
可是从1942年开始，德军开始改进战术上的协调性。以完成任务(mission)为本位的Auftragstaktik，成为新的战术。但是它也架空了领袖，形成非常时期的作战安排。
Auftrag照字面理解是任务的意思，从这个意义上看类似Drucker的“目标管理”(MBO)，但是细查西点上世纪60年代的文献，发觉显然不是一个概念。
同英国皇家空军的“双C”(Control-command, C2法则)相比，Auftragstaktik有一套OODA的反馈回路(feedback loop)，更加“去中心化”。士兵以逸待劳，并获得“授权”(enablement)，这样实际上没有对上级负责。
而且Auftragstaktik首先是对“决策”进行了弱化，“观察”和“行动”成为了重点，并且时刻适应和调整。观察实际情况，着眼信息的“真实性”(Eigentlichkeit，英译Authentic或者正宗性)，减少了误判的几率和沟通耗费的时间成本。
同时，Auftragstaktik让战斗成为游戏一样快乐，没有一种“指令”的压迫感，而战斗过程本身带来的快感带动部队前进，调动了中层兵士(cadets)的积极性。
此外，领导者只在“紧急情况”的时候高度紧张地工作，所以也让领导者从日常事务中解放出来、腾出时间去进行外交谈判来斡旋。部队的效率也因此大大提高。

可能是受报告文学的影响，数学工作者总是要给人以“忙碌”的印象。
大数学家克莱因(Kline)讲过这样一则寓言，意味深远：“一座美丽的城堡已经在莱茵河畔矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群忙碌的蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网。于是它们慌乱地修补起来，因为它们以为，正是蛛网支撑着整个城堡。”