概率拾遗录

计然生

防御的主观构造

伊索寓言之中那只认为葡萄酸的狐狸，正是混淆了信仰分布和偏好分布的界限。
早在1641年，霍布斯(Hobbes)对笛卡尔(Descartes)发出了带有异国情调的责备：

“你如何知道我知道你知道我知道这件事呢？如果你不知道我知道你知道，那么你根本就什么都不知道”。

当然，现代的博弈论工作者已经要么皈依模态逻辑，亦即我不知道我不知道某件事那么我就已经知道了；或者信息集的提炼杖赖某种形式的“不动点”理论，确立了最终的共识，而且这种方法还完全排除了“求同存异”(agree to disagree)的乌有之境。
我们以前对套利的理解往往着眼于同质的时空之中，许多公平的定价都基于没有套利；或者说套利仅仅是一种时间概念。
另一方面，荷兰书的构造却又让我们时时自相矛盾。说具体点，也就是一种远古以来就有的传说“炼金术”。
举一个简化的例子：

A和B两人互相不认识，但是二人都有坚定的信仰分布，而且冥顽不灵。
A认为德国获胜的可能性是5/8，而巴西获胜的可能性是3/8；
所以她把注押在德国。
B信仰巴西获胜的可能性是3/4，而德国获胜的可能性是1/4；
所以他把注押在巴西。
A和B打赌：
如果下场比赛德国赢了，B给A 1000美金；
如果巴西赢了，A给B 1000美金。

很显然，不可忽略一个假设：正是因为A和B的期望收益都是正数，二人是一定愿意参加押注的。
然后，我们来构造一本荷兰书。

假设荷兰书H跟A做这样的赌注：
如果德国赢，H给A 2000美金；
如果巴西赢，A给H 2500美金。

由于A自己算出的期望收益是： 2000x5/8-2500x3/8=312.5美金，正收益；
根据冯·诺依曼的光滑效用假设环境，所以A愿意跟H打这个赌。

然后，荷兰书H又跟B做赌注：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 2000美金。

由于B自己算出的期望收益是：-3000x1/4+2000x3/4= 750美金，
所以B也愿意跟H打这个赌。

这时，我们看看荷兰书给我带来的收益：
如果德国赢了，我们付给A 2000美金，得到B 3000美金，净赚1000美金；
如果巴西赢了，我们付给B 2000美金，得到A 2500美金，净赚500美金。
总之，无论那边赢，荷兰书都让我们不吃亏。

有的时候，这类抱有异质信仰的人还会自己找上门来对冲自己的风险。
还是上面的例子，不过A和B主动想买一个保险，而作为保险的赌博期望收益等于零：

A与H打赌，并且打与不打这个赌没有差别
（这时A所采取的可能就是混合策略）：
如果德国赢，H给A 1500美金；
如果巴西赢，A给H 2500美金。
B与H打赌，并且打与不打这个赌无差别：
如果德国赢，B给H 3000美金；
如果巴西赢，H给B 1000美金。

这时的荷兰书还是让我们在各种情况下都不吃亏：
如果德国赢了，我们付给A 1500美金，得到B 3000美金，净赚1500美金；
如果巴西赢了，我们付给B 1000美金，得到A 2500美金，净赚1500美金。
那么，对于信仰坚定的A和B来说，也许这不是件好事，主观概率有待调整。

调整这种信仰分布的贝叶斯适应，就是基于“我知道我知道我知道我知道某一件事”来完成的。这一类调整方法在冲击着数理统计学科，我们给了它一个非常有趣的名字：“靴襻”(bootstrap)。
“靴襻”的典故可以追述很远，最为著名的应该是吹牛大王敏豪生(Munchhausen)男爵把自己从湖底拉了起来的逸闻。
本质上讲不是一种演绎逻辑。模态的出现限定了，信仰是不确定性的信息，知识是确定的信息。理性的疆界就限制在前置信仰是否一致；如果一致，那么具有了知识内容的决策者才可以是理性的。
(“我知道你知道我知道……”的回路被合理地短路了，或者用不通俗的话讲无限个阶段的混合策略是收敛的）。

确定的偶然

如果说荷兰书是防御的主观构造，那么随着沟通的继续，求同存异的几率也是相当少的。最终的每一个人都确信“我知道我所知道的我知道我知道……”
(这个“靴襻”过程试图寻找低阶的随机性。)
这一类方法，也自然免去了某种俗套，正如康德在1787年讲述:

晚宴过后客人们无限渐慢地靠近大门，彼此通过说“再见”表示听到了“再见”。为确认对方听到我说了“再见”这一事实，并再报之以一声“再见”表明我听到了对方听到我那声“再见”的事实。最后，我说一句“再见”、你说一句“再见”；然后，你再说一句“再见”，我再说一句“再见”…… 如此似乎永远走不出主人的大门。
即便如此，客观构造也并不都是线条般的。

我们举个独立于经验的例子：

假设今天（t=0），美元$兑人民币￥一比一:

$1= ￥1.00,

我们设想，下周末（t=1）只有两种“等可能出现”的情形（几率平分50%）：

情形1) 一美元贬值为：$1= ￥0.80;

情形2) 一美元升值为：$1= ￥1.25。

那么，这一美元在下周末的期望是兑多少呢？

$1= ￥(0.80x50% + 1.25x50%),

合：$1= ￥1.025 (也就是说美元要升值)。

我们对下周末的两个情形做一个恒等变形，用人民币计价：

情形1) $\$1$=￥0.80可以写成：￥1 = $\$(1/0.80)$;
情形2) $\$1$=￥1.25可以写成：￥1 = $\$(1/1.25)$.

那么，一人民币在下周末的期望是：

￥1=$[(1/0.80)x50% + (1/1.25)x50%],

合：$1= ￥ 0.975 (也就是美元要贬值)。

那么，美元到底要升值？还是要贬值呢？

这个费解的问题， 被认定为是凹函数（convex，有时被译作凸，从形态上看“凹”比较像）在期望算子的作用下确实存在一个Jensen's不等式。

除了苏联人热衷的测度论，我们或许可以使用一些游戏来解释概率的本质。

休谟(Hume)那个时代的宇宙还没有混乱的平行起来，或许说最前沿的人仅仅是看到了空间上的平行。
然而，时间上的平行却是最简单的，比如说“我认为你可能认为我可能认为……” 就旨在构造一种平行。

游戏和欧几里得的演绎几何恰恰背道而驰，按照休谟一派，这却是一种由“个别到一般”的过程，或者称倒推的、归纳的。

直到上世纪30年代，Ville等人才让这种游戏成为必然的偶然支配（或者称偶然的必然支配）卷土重来。

波普(Popper)直接提出了“钟”与“云”两种观念 （Weltanschauung）的对立，可惜近代研究者们用“钟”来测量和描述陌生的“云”其熟悉的一面，不过是把每一朵“云”变成了“钟”。

每个围棋高手都明白棋上对弈的有且仅有两个人，没有其他人。而且对于围棋而言，总存在一个strategy-stealing的理论。日本的角谷先生提出过，围棋总存在一个获胜策略。更近一步，成败的关键完全在于谁先走第一步（当然棋盘必须是有限的、而且理性不能疲劳）。还有一个简便策略用于短路：我走的棋仅仅是对方的轴对称或者镜射。

回到前面这个例子的解决，与其说来自于植物学家的灵感，不如说是爱因斯坦1905年对上帝选择投骰子的怀疑。

德州扑克的玩家，往往以为扑克牌和棋一样人都在场，却忽略了一个参与者：机会先生。他是洗牌的手，在有的地方他是骰子、一枚硬币、或者石头剪子布。

无论如何，他的脚步如同喝醉了酒的。

若是他还牵着一条流浪狗的话，狗的脚步却有着信息量，毕竟狗最大活动范围的半径就是绳子，而且狗没有喝醉。如此而已。

我们先用美元$计价汇率来分析，类似互换的定价过程(亦即微分方程的通解)：

$F = Se^{({R_1} - {R_2})t}$.
t=0时，${e_0} = 1$.

情形1) ${e_1}= 0.80$;
情形2) ${e_1}=1.25$.

期望是：$\mathbb{E}(e_1)=1.025$,
方差是：$\sigma ^{2}(e_1)=0.050625$.

用人民币￥计价汇率来分析：
t=0时，$\epsilon_0=1$.

情形1) $\epsilon_1= 1.25$;
情形2) $\epsilon_1=0.80$.

期望是：$\mathbb{E}(\epsilon_1)=1.025$,
方差是：$\sigma ^{2}(\epsilon_1)=0.050625$.
相关系数：$\rho= -1$.
同时，$e_t\epsilon_t=1$, 或者 $\epsilon_t=1/e_t$.

我们不妨把机会先生的事放在$z$一边（醉汉的脚步）。

风险中性的随机过程自然是：

$de_t = [R(\yen)-R(\$)]e_t dt +\sigma (e_t)e_t dz$

根据伊藤引理：

$d(1/e_t) = [R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)](1/e_t) dt -\sigma (e_t)(1/e_t) dz$

所以，

$d(\epsilon_t) =[R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)]\epsilon_t dt-\sigma (e_t)\epsilon_t dz$

显然这样一来，二者的变化率（$de_t/dt$和$d\epsilon_t/dt$）成了不对称的。
根据日经指数的quantos法则：
变换计价方式，单位变动会直接导致$\epsilon_t$的期望变化率变动:

$cov(e_1,\epsilon_1)= \rho \sigma(e_1)\sigma(\epsilon_1)=-\sigma^2(e_t)$

所以，$d\epsilon_t=[R(\$)-R(\yen)]\epsilon_t dt -\sigma (e_t)\epsilon_t dz$.

如此，二者的变化就“对称”了。

不过，质疑主要来自于Jensen's不等式是否被违背了。

最好的解释是此处使用的不再是期望，而是条件期望，准确地讲这个游戏的魅力在于：条件期望把随机变量降解为数，Jensen's不等式就成为了等式。

德国数学家Kronecker攻击康拓(Cantor) 时说，“上帝只创造了整数，其余都是人做的工作”，居然划分出了“理性”(sanity)和癫狂的界限。而一部分癫狂可能是一种特殊的理性。

其实，“有理数”都可以看作是“纯策略”和一般的“混合策略”（即便无限循环，但循环节的长度有限），视为理性(神志清醒)的疆界。

把那些有理数转化为二进制更为清楚：

½=0.10000000...=1(½)+0(½)²+0(½)³+...

¼=0.01000000...=0(½)+1(½)²+0(½)³+...

2/3=0.1010101... =1(½)+0(½)²+1(½)³+...

(最后这个类似一种以牙还牙的摩尔机)

至于无理数，则是无限之无限的，没有规律可循，这便是一种随机发生的“竟然都不能纯化(purified)的混合策略”。我们果然也无法用分数的形式写出来，比如数集般的$\pi$.

过化存神

钟和云的对立湮没在驯化和人工秩序之中。无事生非(much ado about nothing)，我们肉眼看到的是驯化的结果。

众所周知，对称策略是一种信息缺失，其中一面不过是另一面的复制，没有提供任何新信息。自然有时也会采取这种策略，比如分型（fractals）。看似不规则而实则规则的分型也是观诸于钟的世界，甚至那些由发生器产生的随机数也并非真正的随机，所以也是钟王国里的臣民。如今计算的任务也虔诚的臣服于钟。

十年前在国内读到了一本读物，是两个得了诺奖的德国人Eigen 与Winkler
写的，被 Kimber夫妇（Kimber太太在2015年12月走完了人生的最后几天）翻译成了英文《游戏:自然规律支配偶然性》(Laws of the Game: How the Principles of Nature Govern Chance)；它后来也有了多国文字的版本。
这本书提供了游戏的两个视角：随机性和规律性。可惜的是，它忽略了许多游戏并无随机性，比如国际象棋，除非下每一步前允许出拳或者扔骰子。

难得糊涂（Ignorance is bliss），这本荟萃般的读物忽略了游戏最重要的一点，所有游戏都有的共性，盈亏（payoff）。这是游戏区别于其他任何行为最直接的一点，而且最终这些盈亏成为了测度，最后的累积就是胜负。

参与游戏的初始资本就叫做概率，而其公平性也在于这场游戏是否被驯化（tamed）而非野生（wild）秩序。套马的僵起作用的叫做"鞅"（martingale），驯化万类，押注资本的变化过程可以被看作是鞅。
游戏的历史信息，都被这些盈亏的资本量俘获住了。盈亏高低和游戏规则，就是这些序结构。

我们只关注于存在偶然性的游戏，因为这对于盈亏重新分配有着意料之外的力量。资本和概率测度一样，并非一成不变的，随着时间流逝而变化。分布本身也在进化的过程中。
当然，驯化也并非全都必须是人造物，也有自发性的力量。经过多次(甚至是无限次)重复的游戏，所有的历史信息都铭记在心，这便是无名氏定理（Folklore theorem）的基石，直至那些原貌荡然无存。
野生的资本过程，有着极大的不确定，驯化的不确定性成为了风险，而相当一部分不确定性是不能转化为风险的。

我们信手拈来一个例子，从圣彼得堡悖论稍作改动获得启发。
假若有这么一个赌局：即便你赢的概率只有0.0000001‰，但你可以一直玩到你赢为止。每玩一次可以双倍加注。
如果你初始资本只有$a$元，倘使在第$n$轮赢了，你的收益是$a 2^n$, 而你的亏损总共是$a[1+2+4+\cdots+2^{(n-1)}]$.

再比如另一个在形式逻辑驯化过程中被征服的例子：
潘多拉突然获得流亡的众神发布的神谕：有两个装着钱的盒子，她只能任意打开一个并获得其中的钱。
然而，神谕的内容还告诉潘多拉会有这样2种等可能情况：任意一盒所装的钱，是另外一盒钱的2倍、或者是另外一盒钱的一半。
如此，假设潘多拉任意打开了一个盒子，里面的钱是$\$N$.
假设潘多拉是风险中性的，那么她期望没打开的那个盒子所装的钱应该是：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} N) + \frac{1}{2}(2N) = \$ 5N/4$.
这个例子说明，潘多拉注定必然会不断后悔。

我们还可以看一个公开信马由缰的例子：
浮士德一觉醒来，发现自己身处地狱。
不过魔鬼仍然为他提供了一条出路：可以选择和魔鬼打一个赌。赌博的奖励是飞升天堂的永生。
如果浮士德在地狱的第$N$天同意打这个赌，他将有$(N-1)/N$的概率飞升天堂、有$1/N$的概率留在地狱。
这个例子的哲理或许是，若浮士德总是通过在地狱多等一天以增加他升天堂的概率，他将在地狱中永生。
这个例子可能还说明一点，如果获得某个东西的时间如果不重要的话，那么是否获得这个东西也就不重要了。

在2011年，三位计算机数学家Ekhad，Georgiadis和Zeilberger 发表了“下注速成”（How to Gamble If You're In a Hurry）：

假设有数量为 $n$ 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以 $p$ 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。
如果赌博的目标是本钱增长到 $N$或者破产（输光所有的钱为止）。
问什么样的方式可以最大化成功（赢到 $N$ 走人）的概率呢？

提案者还假设了$n,N$都是整数，并且每次只能下整数的赌注。具有讽刺意味的是，最后的结论受到了质疑。

如果 $p<0.5$，那么每次下注 $min(n,N−n)$ 。
如果 $p=0.5$, 成功概率与本钱成正比。
如果 $p>0.5$，每次下注$1$。

难得的删繁就简

竹村彰通在2014年底的一场严肃报告，似乎是概率论研究者的一种新的思路。
如同当年帕斯卡(Pascal)对业余数学家费马(Fermat)的排列组合进行的“精兵简政”(streamlining)一样，竹村先生的综述涉及到一个概念，“确定化”（de-randomization），以及一套名为Game-theoretic Probability的方法论。

竹村的演讲提到这么一句话：“如果你从不押上比你所有财富还多的注，那么你永远无法无限富有。”

这句话的证明，并没有给出来，不过这句话却被归功于让•维勒(Jean Ville)在1939年开始的工作。在Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书中将这句话列为古诺原则(Cournot's principle)的变体。
和苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Николаевич）建立起来的测度论不同，让•维勒另辟蹊径提出了以贝叶斯学派为依托的概率论，Game-theoretic Probability。
Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书“Probability and Finance: It's Only a Game”，算得上是这项研究的集大成者。
然而，令人遗憾的是仍然难以彻底与测度论分庭抗礼。

这本书的枯燥之处在于例子太少，纲举目张，以下为佐证竹村先生的那句话，特别构造一个经典而浅显的例子：
一个赌徒和经纪商（或者赌场）参加一局不能相互赊借的赌博。
赌徒的初始资本是B，经纪商的初始资本是$D$, 总资本是$B+D=C$.
假设赌徒破产的概率是p，也就是指$p = \mathbb{P}[B=0\&D=C]$.
同时这个赌局是公平的。也就是说，任意一方的期望收益是0.
强调概率p对B是线性的。
那么，赌徒的期望收益：$-pB + (1-p)D = 0$,
所以，$p = D/C = 1 - B/C$.
这样衍生出来的概率，暗示着：无限次重复的赌博没有一方会赢钱，但是在有限次之中资本押注得多的会占优势。
这也印证了Patrick Billingsley早在1983年提出的“一次全押上胜过多次押小注”，以及“即便胜算不大也最好把全部资本投进去”。

当然，这些关乎市场是否有效的结论并不重要，重要的是这个概率的计算过程。
福尔摩斯般的倒推法，实则是一种归纳，而避免了演绎和排列会出现的遍历性讨论。
研究遍历性是测度的一项基础工作。例如获得中央公园哪个位置的人口最密集，可以通过这两种方式。一种方法是，比如以一天为限，统计每个位置游客数量，制作出对各点密度的分布以及期望。另一种方法是，比如跟踪某一个游客一年之内在公园的轨迹，制作出分布和期望。这两种方法或许都有一个致命的缺点，对遍历图景的某种偏误。这也许是数据的镶嵌形成的，任何一种观测或许看不到这种层次感。测度论已经可以抽象地通过包含和过滤的办法加以透视。

对于鞅（martingale）的理解，人们往往局限于这个形式：$\mathbb{E}[P(t)｜P(t-1),P(t-2),...,P(1)]=P(t-1)$.
美国人Glenn Shafer和英国人Vladimir Vovk 运用Game-theoretic Probability解释了这一现象：${P(t)}$是一个鞅。
（附：其game-theoretic方式的证明）
可惜的是，这样老花眼的定义并不能看到测度论工作者希望我们透视到的。
因为还需要意识到“最小信息集”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(\mathbb{E}(y｜x, w, z) ｜x, w) ｜x] = \mathbb{E}(y｜x)$以及“迭代期望定律”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(y｜x)]=\mathbb{E}(y)$ 各自生成的条件。也就是说鞅在结构上的层次性。

在钟的世界里，最简单的镶嵌结构就是利用了对称的分形。比如远东童谣：

“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是‘从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是……’”

巴赫多首赋格、卡农也是这种升降半度的重复创作，比如在1885年左右的“G大调大提琴第一组曲”(BWV 1007)。
毫不客气地说，华尔街日报的新闻大部分内容就是这么自动生成的。
在这种镶嵌分形的世界里，碎片的信息可以实现全息，一花一世界。更为理想主义的是，这种碎片基因还被指望可以还原整体，也就是历史的重复性。

钟的世界存在一种安全意义的惯性，这是研究优化和系统最大的法宝。比如进入磁场的闭合回路受到的洛伦兹力、溶液缓冲对，当然最著名的则是萨默尔森版本的勒•夏特列(Le Châtelier)定律：一般均衡下，价格在长期的影响大于在短期的影响。定性地说就是，均衡在短期朝着减小变化的方向移动。

这样性质也是Newcomb在1881年以及Benford在1938年所观察到的一种数据增长的惰性：随机数从1增长到2的困难程度，远远大于从9增长到10的困难程度。
在审计领域，把随机性（纯商业目的活动）量化为：数据中以1开头的数应该最多，依次递减到以9开头的数应该最少。

回忆起来，我们学习微分或差分方程的逻辑顺序：先从线性系统着手，那些非线性的运用“邻域”这个开区间来近似成线性的。对线性的微分或差分方程，我们先找的是齐次形式(homogeneous)的通解，然后把非齐次的通过与不动点进行扰动，从而把那些非齐次的转化为齐次的。最终成为矩阵理论的用武之所：线性系统。在群论看来，矩阵则是对称运动的抽象结构。这个大致的逻辑，跟频率学派着手建立测度论别无二致。
把每一朵云精确化、公理化，最早从巴黎高师提出，并且成为一群以尼古拉•布尔巴基(Nicolas Bourbaki)作为笔名的欧洲数学家终身追求的目标，柯尔莫哥洛夫就深受影响。公理化，构成了测度论的语言和律法，如同巴黎的各种沙龙产生的各种宣言和主义一样。
钟的世界，的确在大自然中找到了呼应。顺应计量学科的发展，在遗传学上的Hardy-Weinberg Law成功运用了牛顿-莱布尼茨二次展开式。概率不再简单是一种反事实的历史可能，更成显示为种群的数量。随机过程就像家谱一样显示出瀑布般的层次感，而某一性状的种群灭绝也被看做是概率衰减为零。巴黎的公理化对概率似乎也演化为一种运动，从沙俄时期说得一口流利法语的马尔可夫(Марков)、切比雪夫(Чебышёв)师徒，到那些获得列宁勋章的苏联劳模柯尔莫哥洛夫、辛钦(Хи́нчин)、吉尔萨诺夫(Гирсанов)，薪火传承。
他们受法德频率学派的影响根深蒂固，成为布尔巴基学派最重要的一个分支。布尔巴基学派的最重要贡献就是集合论以及集合论对各学科的应用。二战之后，布尔巴基学派更迎来了鼎盛时期。

概率论中的贝叶斯学派，基本是伴随着蒙特•卡洛仿真的运用在上世纪70年代才死灰复燃的。
钟的世界受到了何等的冲击而遭受剧变，我们能找到的仅是一份1968年冬巴黎流传着布尔巴基的讣文。讣文的大概内容是高师的校友、还有陈班学生对尼古拉•布尔巴基于11月在Nancago(暗示Nancy和Chicago)的庄园逝世各种惋惜。概率论的研究从那些设有科学院的国家走出来，走到计算机应用中来。

摩尔机是一种数据生成的装置，它可以模仿数据的行为，通过观察总结多次来调整主观概率分布。它没有一个先验的模型，这种方法也被成为non-parametric或者semi-parametric理论。概率的分布，变成了一种反应函数（reaction curve，实际是对置身事外的另一个概率的应激反应）。不需要像依赖太多假设，计算机的数量方法把苛刻的抽样变成了造物般的模拟。

钟的世界往往受到老牌酒店的青睐，不难理解希尔顿以及丽兹酒店选择ERP技术来运筹帷幄，而拒绝电子商务平台的方案。当然也是出于公司安全性、独立性的考虑，但是这也意味着巨额的安装和运营维护成本。
不过值得一提的是，如今对成本考量最大的挑战是，成本的计算越来越没有可重复性了。当云方案出台的时候，成本数据甚至会廉价到免费的地步，旅行信息也不再为酒店所垄断。
上世纪九十年代末，克莱因(Klein)以“确定性的丧失”为旗号，大肆宣扬布劳威尔(Brouwer)的直觉主义和置精确于不顾的集合论。
当然，这并不是说ERP技术完全就被替代掉。正如审计事务被替代后，事务所可以转型为以贩卖数据为主营业务的咨询公司一样，而咨询就极有可能成为一门艺术。
而且这稀松平常，如同统计上的黄金分割法还有Grid Search被今天的计量经济学者仅仅视作一种艺术而已。
不得不说，深受布尔巴基学派影响的艺术家可是挺多的，比如绘画方面的立体主义。

烟霞雾霭

入手谈说混合策略的构造，并不一定需要一个显性的随机数发生器。一旦一项行动的选择或决定做出以后，没人知道这究竟是混合策略还是纯策略。
多态的(polymorphic)均衡存在于信仰(概率分布)之中，而非实际行动。这个概念来自于贝叶斯纳什均衡最重要的一个假设：角色分配(casting roles)。把一个玩家变成同时存在的多个玩家。
即便每一个玩家都出纯策略，但是剧情的安排最终构造出玩家们整体是采取混合策略。
如果你手中正好没有骰子或者硬币之类的，理解这个概念不妨参考莎士比亚的《驯悍记》 (The Taming of the Shrew)。
除此之外，无论是杀了丈夫伊阿宋(Easun)的新欢又杀了两个儿子的美狄亚(Medea)公主，还是杀了丈夫阿伽门农(Agamemnon)又被儿子俄瑞斯忒斯(Orestes)所杀的克里台内斯特拉(Clytaemnestra)，在莎士比亚的《泰特斯·安特洛尼克斯》 (Titus Andronicus)这部剧面前都显得小巫见大巫了；不得不说，它是莎翁著作中最为血腥和残忍的一部剧。

当然，这本来源于贝叶斯学派对于参数估计的理解与频率学派的截然不同：他们认为真实参数是变动的；而频率学派认为真实参数是客观不变的、变动的是估计和由估计构造出的置信区间。
这也难怪频率学派的数理统计发现了“安娜·卡列尼娜原则”(Anna Karenina principle)，当然是语出那位取名狮子的处女座文豪托尔斯泰：样本数据满足所有原假设的方式只有一种，违背原假设的方式各有各的不同。
贝叶斯概率则是着眼于一种“小世界(small states)概率”。
这个枯燥的逻辑是因为英国哲人穆勒(Mill)对归纳(由个别到一般的)方法进行的束缚，也是形式逻辑中“穆勒归纳法”的精髓：真实仅仅只是小世界的真实。而至于小世界之外，我们唯一知道的就是我们一无所知。

也许在一些小世界中天鹅都是白的，但在有的情况下会与黑天鹅不期而遇。
这种情况是讨人嫌的，比如研究“最优捷降线”(brachistochrone)出现的“欧拉方程”。优化，无非是”最大化”(max)和”最小化”(min)，max是凹(convex)函数，而min是凸(concave)函数，分隔而治。
（优化的对象functional我们叫泛函，也就是所谓“广义函数”是沿用苏联50年代的叫法。西方数学界则称为“分布”。维基百科说线性泛函是普通函数生成的，倒也不一定，测度（measure）也可以生成线性泛函。测度本身也是泛函。）
一般来说，一期或者短期的优化，就会产生一个一阶的必要条件，这便是“欧拉方程”。(家喻户晓，欧拉冠名了许多方程，而我们说的是$F_x=\frac{\partial }{\partial t}F_{\dot{x}}$.) 每一期都得到这样的条件，那么是不是加在一起就解决了无限期或者整体的问题呢？是不是每一期得到的欧拉方程都一模一样。
“一致性”(time consistent)是这个问题的关键：亦即某一条件是各期、各个问题的最优解。
困难在于“最优捷降线”离不开摄动(perturbation)的局部性，或者在收费高速公路(turnpike)问题上就体现为每一期的最优路线都不一样（开车上班的朋友应该深有体会，Google map选出的最优路线老是变来变去）。
负债经营(或赌博)最大的挑战就是一致性的丧失，我们先看一个非公平的竞技游戏：

射击选手A和B参加一个射击比赛，一共100次射击机会。 不失一般地，我们简单地划分每次射击结果为中靶和没有中靶两种。
第一轮：
A打了60发，中了56次，中靶点数为0.93；
B打了70发，中靶62次，中靶点数为0.89.
A在第一轮暂时领先。
第二轮：
A打了40发，中了12次，中靶点数为0.30；
B打了30发，中了8次，中靶点数为0.27.
A在第二轮仍然领先。
现在，双方100次射击机会都已全部耗尽，我们来看看他们的成绩：
A一共中靶68次，累积0.68；
B一共中靶70次，累积0.70.
虽然A在每一轮都领先于B，但是最终的总成绩是B领先A。

人类的逻辑是从规则来研究“不规则”，于是钟表这样的度量衡就被发明了出来。
博弈论研究引入了“信息集”这一概念，最早是由冯·诺依曼(Von Neumann)和Lawrence老师的导师摩根斯坦(Morgenstern)在研究扑克游戏时提出的。
为了看到这个信息集，不妨先从一道经典习题着手：

一个村子里住着许多家庭，其中有50个家庭中的丈夫对妻子不忠。在牧首来到这个村庄之前，没有一个妻子知道自己丈夫的情况，她们只知道其他所有的男人是否不忠。但是，一旦妻子知道自己的丈夫不忠，就会在当天子夜杀掉他。每天晚上，妇女们都会聚在一起开会。
有一天，牧首诚实地宣布：这个村庄至少有一个丈夫对妻子不忠。请问：有多少丈夫最后被杀掉？答案是，村子里安静地度过了49天，第50天夜里听到了枪声，正好50个丈夫被妻子打死。

答案的最为典型的一种推理以在MIT的习题集总结出来的为例：
假如这个村庄只有一个不忠的丈夫，他的妻子是唯一不知情的人，那么第一天过后的子夜就会听到枪声。如果有两个不忠的丈夫，他们那两个不知情的妻子只了解到有1个不忠的丈夫，第一天夜里风平浪静。经过第一晚，这两位妻子可以推断出有且正好有2个负心人，第二个夜里同时发生了枪声。如果前两天子夜都风平浪静，那么妇女们就可以推断出至少有3个负心人……
以此类推，这是一种非常经典的归纳法。

不过，化身福尔摩斯之后的大侦探波洛(Hercule Poirot)提出，这的确值得删繁就简。还有一种删繁就简的办法是由英国人Ken Binmore通过“信息集的分拆”获得，而且对学习非合作博弈更为有益。
Binmore把这一理念运用在拍卖设计中，香港和新加坡政府对3G网络运营执照的拍卖 (次高价暗拍，second-price sealed bid) 就是这种信息集拆分的运用。
（拍卖设计者意识到“钱包游戏”(Wallet game)可以避免“赢家诅咒”，其逻辑在于有共同的公允价值，然而在苏富比(Sotheby's)竞拍场却面临没有共同价值和估价不一致。由于担心“赢家诅咒”所以经常出现压低报价(shading)，但在次高价暗拍中“说真话”成为占优策略，附：其证明的总结）

在和次高价暗拍等价的英式公开拍卖中，无法承受心里底价的伴随拍卖叫价依次退场，场内留下的人拥有的信息最多。而另一方面，价格的高低也能俘获住了信息量的高低。

和这种竞拍场“逐次退出”的层次相关的概念，就是逆向归纳过程中对信息集的“分拆”。
不过，次高价暗拍与公开的英式拍卖，也并非完全意义上的对等。
（附： 拍卖等价的定律，以及引入风险厌恶之后不等价的证明，对风险厌恶引入妒忌(envy)策略作为解药建议。）

最大的一个问题就是“狙击”(snipe)这种策略，直到今天eBay也非常头疼这个问题：
在eBay网站上，标出的价实际上是第二高的报价，最高价被隐藏起来，维持一周进行拍卖，报最高价者以次高价的成本买到货。
可能的情况比如，某位报价1刀以后，注册不同账号变身第二位并立刻报100刀，吓走了同期竞争者，这样只花了第二高的1刀就收走了卖家所有的爱物。
为了克服这个困难，在eBay上新的报价允许最大不超过14%的增加。
由于担心提早报价无端抬高了第二高价，报价会大部分集中在最后时刻。
这就是所谓最后时刻的“狙击”。
准确地讲，无论是公开的竞拍还是悄无声息的暗拍，都是在发现价格，或者是揭露概率分布。那么，听到对方的声音会产生何等的差别呢？

我们通过一个二人决斗(Duel)来谈谈这个问题，当然把所有的混合策略全部“纯化”(purified)。决斗，就是两个情敌背对背走开到最远(设最远距离为1)，然后逐步靠近依次向对方开枪(一般还会蒙着眼)。俄国的普希金(Пушкин)和法国的伽罗瓦(Galois)，都是在与情敌决斗的过程中英年早逝的。
假设存活的概率同二人间距正比例变化，开枪的概率同二人间距反向变化。假设A从最远处起了$a$步或者距离，B从另一端走了$b$步或者距离。

（1）一种决斗是有声的“Noisy Duel”，一方听到对方开枪的声音。
那么A开枪的概率: $P(a)=1-a$, B开枪的概率是: $P(b)=1-b^2$.
A和B收益总和永远是1 (任意一方可以获得爱情则是1单位奖励)、而且严格竞争的(你死我活)。
利用对称性则有：$1-d=1-(1-d^2)$.
可以得到其中一个均衡:$d$≈0.618（黄金分割点）。两者反应函数(reaction curves)的一个交点则是(0.618, 0.618). 调整步长有时会产生出多个（奇数个）交点。
如果A要考虑到B的某个位置才能做决定，那么固定自己的位置意味着$a^*$是常数。
如果$a^*>b$, A的期望收益: $P(a^*)=1-a^*$是常数，是直线。
如果$a^*<b$, A的期望收益: $1-P(b)=b^2$, 是二次曲线。

（2）另一种决斗是塞着耳朵的“Silent Duel”，彼此听不到对方是否开枪。
如果a和b是“连续”变化的，那么两者反应函数(reaction curves)没有任何交点，没有纯策略纳什均衡。
但离散情况下，也就是调整步长有时会产生出一些交点。
A开枪的概率变成: P(a)=1-a, B开枪的概率是: $P(b)=1-b$.
如果$a>b$, A的期望收益是: $P(a)=1-a$, B的期望收益是: $a(1-b)$;
如果$a<b$, A的期望收益是: $(1-a)b$, B的期望收益是: $P(b)=1-b$.
所以收益总和是$1-ab$, “Silent Duel”并不是严格竞争的。

这两种”决斗”方案为拍卖设计者提供了警示，无论是买家的党同伐异，还是卖家希望的求同存异(agree to disagree)。