难得的删繁就简

计然生

竹村彰通在2014年底的一场严肃报告，似乎是概率论研究者的一种新的思路。
如同帕斯卡对业余数学家费马的测度一样，竹村先生涉及到一个概念“确定化”（de-randomization），以及一套名为Game-theoretic Probability的方法论。

竹村的演讲提到这么一句话：“如果你从不押上比你所有财富还多的注，那么你永远无法无限富有。”

这句话的证明，并没有给出来，不过这句话却被归功于让•维勒(Jean Ville)在1939年开始的工作。在Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书中将这句话列为古诺原则（Cournot's principle）的变体。
和苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Николаевич）建立起来的测度论不同，让•维勒另辟蹊径提出了以贝叶斯学派为依托的概率论，Game-theoretic Probability。
Glenn Shafer和Vladimir Vovk（2001）的书“Probability and Finance: It's Only a Game”，算得上是这项研究的集大成者。然而，令人遗憾的是仍然难以彻底与测度论分庭抗礼。
这本书的枯燥之处在于例子太少，纲举目张，以下为佐证竹村先生的那句话，特别构造一个经典而浅显的例子：

一个赌徒和经纪商（或者赌场）参加一局不能相互赊借的赌博。
赌徒的初始资本是B，经纪商的初始资本是$D$，总资本是$B+D=C$。
假设赌徒破产的概率是p，也就是指$p = \mathbb{P}[B=0\&D=C]$ .
同时这个赌局是公平的。也就是说，任意一方的期望收益是0.
强调概率$p$对$B$是线性的。 那么， 赌徒的期望收益：$-pB + (1-p)D = 0$. 所以，$p = D/C = 1 - B/C$.

这样衍生出来的概率，暗示着：无限次重复的赌博没有一方会赢钱，但是在有限次之中资本押注得多的会占优势。
这也印证了Patrick Billingsley早在1983年提出的“一次全押上胜过多次押小注”，以及“即便胜算不大也最好把全部资本投进去”。

当然，这些关乎市场是否有效的结论并不重要，重要的是这个概率的计算过程。
福尔摩斯般的倒推法，实则是一种归纳，而避免了演绎和排列会出现的遍历性讨论。
研究遍历性是测度的一项基础工作。例如获得中央公园哪个位置的人口最密集，可以通过这两种方式。一种方法是，比如以一天为限，统计每个位置游客数量，制作出对各点密度的分布以及期望。另一种方法是，比如跟踪某一个游客一年之内在公园的轨迹，制作出分布和期望。这两种方法或许都有一个致命的缺点，对遍历图景的某种偏误。这也许是数据的镶嵌形成的，任何一种观测或许看不到这种层次感。测度论已经可以抽象地通过包含和过滤的办法加以透视。

对于鞅（martingale）的理解，人们往往局限于这种形式$\mathbb{E}[P(t)｜P(t-1),P(t-2),...,P(1)]=P(t-1)$. 美国人Glenn Shafer和英国人Vladimir Vovk (2001) 运用Game-theoretic Probability解释了这一现象：${P(t)}$是一个鞅。
（附：其game-theoretic方式的证明）
可惜的是，这样的定义并不能看到测度论工作者希望我们透视到的。这还需要意识到“最小信息集”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(\mathbb{E}(y｜x, w, z) ｜x, w) ｜x] = \mathbb{E}(y｜x)$以及“迭代期望定律”$\mathbb{E}[\mathbb{E}(y｜x)]=\mathbb{E}(y)$各自生成的条件。也就是说鞅在结构上的层次性。

在钟的世界里，最简单的镶嵌结构就是利用了对称的分形。比如远东童谣：

“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是‘从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，讲的是……’”

巴赫多首赋格、卡农也是这种升降半度的重复创作，比如在1885年左右的“G大调大提琴第一组曲”(BWV 1007)。
毫不客气地说，华尔街日报的新闻大部分内容就是这么自动生成的。
在这种镶嵌分形的世界里，碎片的信息可以实现全息，一花一世界。更为理想主义的是，这种碎片基因还被指望可以还原整体，也就是历史的重复性。

钟的世界存在一种安全意义的惯性，这是研究优化和系统最大的法宝。比如进入磁场的闭合回路受到的洛伦兹力、溶液缓冲对，当然最著名的则是萨默尔森版本的勒•夏特列(Le Châtelier)定律：一般均衡下，价格在长期的影响大于在短期的影响。定性地说就是，均衡在短期朝着减小变化的方向移动。

这样性质也是Newcomb在1881年以及Benford在1938年所观察到的一种数据增长的惰性：随机数从1增长到2的困难程度，远远大于从9增长到10的困难程度。
在审计领域，把随机性（纯商业目的活动）量化为：数据中以1开头的数应该最多，依次递减到以9开头的数应该最少。

回忆起来，我们学习微分或差分方程的逻辑顺序：先从线性系统着手，那些非线性的运用“邻域”这个开区间来近似成线性的。对线性的微分或差分方程，我们先找的是齐次形式(homogeneous)的通解，然后把非齐次的通过与不动点进行扰动，从而把那些非齐次的转化为齐次的。最终成为矩阵理论的用武之所：线性系统。在群论看来，矩阵则是对称运动的抽象结构。这个大致的逻辑，跟频率学派着手建立测度论别无二致。
把每一朵云精确化、公理化，最早从巴黎高师提出，并且成为一群以尼古拉•布尔巴基(Nicolas Bourbaki)作为笔名的欧洲数学家终身追求的目标，柯尔莫哥洛夫就深受影响。公理化，构成了测度论的语言和律法，如同巴黎的各种沙龙产生的各种宣言和主义一样。
钟的世界，的确在大自然中找到了呼应。顺应计量学科的发展，在遗传学上的Hardy-Weinberg Law成功运用了牛顿-莱布尼茨二次展开式。概率不再简单是一种反事实的历史可能，更成显示为种群的数量。随机过程就像家谱一样显示出瀑布般的层次感，而某一性状的种群灭绝也被看做是概率衰减为零。巴黎的公理化对概率似乎也成为一种运动，从沙俄时期说得一口流利法语的马尔可夫(Марков)、切比雪夫(Чебышёв)师徒到那些获得列宁勋章的苏联劳模柯尔莫哥洛夫、辛钦(Хи́нчин)、吉尔萨诺夫(Гирсанов)。他们很受法德频率学派的影响，成为布尔巴基学派最重要的一个分支。二战之后，布尔巴基学派迎来了鼎盛时期。

概率论中的贝叶斯学派，是伴随着蒙特•卡洛仿真的运用在上世纪70年代才死灰复燃的。
钟的世界受到了何等的冲击而遭受剧变，我们能找到的仅是一份1968年冬巴黎流传着布尔巴基的讣文。讣文的大概内容是高师的校友、还有陈班学生对尼古拉•布尔巴基于11月在Nancago(暗示Nancy和Chicago)的庄园逝世各种惋惜。概率论的研究从那些设有科学院的国家走出来，走到计算机应用中来。

摩尔机是一种数据生成的装置，它可以模仿数据的行为，通过观察总结多次来调整主观概率分布。它没有一个先验的模型，这种方法也被成为non-parametric或者semi-parametric理论。概率的分布，变成了一种反应函数（reaction curve，实际是对置身事外的另一个概率的应激反应）。不需要像依赖太多假设，计算机的数量方法把苛刻的抽样变成了造物般的模拟。

钟的世界往往受到老牌酒店的青睐，不难理解希尔顿以及丽兹酒店选择ERP技术，而拒绝电子商务平台平台。当然也是出于公司安全性、独立性的考虑，但是这也意味着巨额的安装和运营维护成本。
不过值得提出的是，如今对成本考量最大挑战是，成本的计算越来越没有可重复性了。当云方案出台的时候，成本数据甚至会廉价到免费的地步，旅行信息也不再为酒店所垄断。
当然，这并不是说ERP技术完全可以被替代，正如审计事务被替代后，事务所可以转型为以贩卖数据为主营业务的咨询公司一样。而咨询就极有可能成为一门艺术，如同统计上的黄金分割法还有Grid Search被今天的计量经济学者认为仅仅是一种艺术了。
不得不说，深受布尔巴基学派影响的艺术家还是挺多的，比如绘画方面的立体主义。