确定的偶然

计然生

如果说荷兰书是防御的主观构造，那么随着沟通的继续，求同存异的几率也是相当少的。最终的每一个人都确信“我知道我所知道的我知道我知道……”
这也自然免去了某种俗套，正如康德在1787年讲述:

晚宴过后客人们无限渐慢地靠近大门，彼此通过说“再见”表示听到了“再见”。为确认对方听到我说了“再见”这一事实，并再报之以一声“再见”表明我听到了对方听到那声“再见”的事实。最后，我说一句“再见”、你说一句“再见”；然后，你再说一句“再见”，我再说一句“再见”……如此似乎永远走不出主人的大门。

即便如此，客观构造也并不都是线条般的。

我们举个独立于经验的例子：

假设今天（t=0），美元$兑人民币￥一比一:

$1= ￥1.00,

我们设想，下周末（t=1）只有两种“等可能出现”的情形（几率平分50%）：

情形1) 一美元贬值为：$1= ￥0.80;

情形2) 一美元升值为：$1= ￥1.25。

那么，这一美元在下周末的期望是兑多少呢？

$1= ￥(0.80x50% + 1.25x50%),

合：$1= ￥1.025 (也就是说美元要升值)。

我们对下周末的两个情形做一个恒等变形，用人民币计价：

情形1) $1=￥0.80可以写成：￥1 = $(1/0.80);

情形2) $1=￥1.25可以写成：￥1 = $(1/1.25);

那么，一人民币在下周末的期望是：

￥1=$[(1/0.80)x50% + (1/1.25)x50%],

合：$1= ￥ 0.975 (也就是美元要贬值)。

那么，美元到底要升值？还是要贬值呢？

这个费解问题，凹函数（convex，有时被译作凸，从形态上看“凹”比较像）在期望算子的作用下确实存在这个Jensen's不等式。

除了苏联人热衷的测度论，我们或许可以使用一些游戏来解释概率的本质。

休谟那个时代的宇宙还没有混乱的平行起来，或许说最前沿的人仅仅是看到了空间上的平行。然而，时间上的平行却是最简单的，比如说“我认为你可能认为我可能认为……”就旨在构造一种平行。

游戏和欧几里得的几何恰恰背道而驰，按照休谟一派，这是一种有个别到一般的过程，或者称倒推的、归纳的。

直到上世纪30年代，Ville等人才让这种游戏成为必然的偶然支配（或者称偶然的必然支配）死灰复燃。

波普直接提出了“钟”与“云”两种观念 （Weltanschauung）的对立，可惜他们用“钟”来测量和描述陌生的“云”其熟悉的一面，不过是把每一朵“云”变成了“钟”。

每个围棋高手都明白棋上对弈的有且仅有两个人，没有其他人。而且对于围棋而言，总存在一个strategy-stealing的理论。日本的角谷提出过，围棋总存在一个获胜策略。更近一步，成败的关键完全在于谁先走第一步（当然棋盘必须是有限的、而且理性不能疲劳）。还有一个简便策略用于短路：我走的棋仅仅是对方的轴对称或者镜射。

回到前面这个例子的解决，与其说来自于植物学家的灵感，不如说是爱因斯坦1905年对上帝选择投骰子的怀疑。

德州扑克的玩家，往往以为扑克牌和棋一样人都在场，却忽略了一个参与者：机会先生。他是洗牌的手，在有的地方他是骰子、一枚硬币、或者石头剪子布。

无论如何他的脚步，如同喝醉了酒的。

若是他还牵着一条流浪狗的话，狗的脚步却有着信息量，毕竟狗最大活动范围的半径就是绳子，而且狗没有喝醉。如此而已。

我们先用美元$计价汇率来分析：

类似互换的 $F = S{e^{({R_1} - {R_2})t}}$

t=0时，${e_0} = 1$.

情形1) ${e_1}= 0.80$;

情形2) ${e_1}=1.25$;

期望是：$\mathbb{E}(e_1)=1.025$,

方差是：$\sigma ^{2}(e_1)=0.050625$.

用人民币￥计价汇率来分析：

t=0时，$\epsilon_0=1$.

情形1) $\epsilon_1= 1.25$;

情形2) $\epsilon_1=0.80$;

期望是：$\mathbb{E}(\epsilon_1)=1.025$,

方差是：$\sigma ^{2}(\epsilon_1)=0.050625$.

协方差：$cov(e_1,\epsilon_1)= -0.050625$.

相关系数：$\rho= -1$

同时，$e_t\epsilon_t=1$, 或者 $\epsilon_t=1/e_t$.

我们不妨把机会先生的事放在$z$一边（醉汉的脚步）。

风险中性的随机过程自然是：

$de_t = [R(\yen)-R(\$)]e_t dt +\sigma (e_t)e_t dz$.

根据伊藤引理：

$d(1/e_t) = [R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)](1/e_t) dt -\sigma (e_t)(1/e_t) dz$

$d(\epsilon_t) =[R(\$)-R(\yen)+\sigma^2(e_t)]\epsilon_t dt -\sigma (e_t)\epsilon_t dz$

显然这样一来，二者的变化率（$de_t/dt$和$d\epsilon_t/dt$）是不对称的。

根据日经指数的quantos法则：
变换计价方式，单位变动直接导致$\epsilon_t$的期望变化率变动:

$cov(e_1,\epsilon_1)= \rho > \sigma(e_1)\sigma(\epsilon1)=-\sigma^2(e_t)$.

所以，$d\epsilon_t=[R(\$)-R(\yen)]\epsilon_t dt -\sigma (e_t)\epsilon_t dz$.

如此，二者的变化就“对称”了。

不过，质疑主要来自于Jensen's不等式是否被违背了。

最好的解释是此处使用的不再是期望，而是条件期望，准确地讲这个游戏的魅力在于：条件期望把随机变量降解为数，Jensen's不等式就成为了等式。

其实，有理数都可以看作是“纯策略”和一般的“混合策略”（即便无限循环，但循环节的长度有限），视为理性的疆界。

把那些有理数转化为二进制更为清楚：

½=0.10000000...=1(½)+0(½)²+0(½)³+...

¼=0.01000000...=0(½)+1(½)²+0(½)³+...

2/3=0.1010101... =1(½)+0(½)²+1(½)³+...

(最后这个类似一种以牙还牙的摩尔机)

至于无理数，则是无限之无限的，没有规律可循，这便是一种随机发生的“竟然都不能纯化(purified)的混合策略”。我们果然也无法用分数的形式写出来，比如$\pi$.