第八次作业 chapter3 exercise3.4、3.5

朱楚楚 材料物理 2013301510058
computationalphysics chapter3

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摘要

单摆运动；共振；Euler-Cromer方法；

背景

　　本文对单摆运动这一常见的物理运动进行延伸思考，讨论考虑空气摩擦力和增加驱动力条件下的单摆运动和大角度单摆运动。
　　根据牛顿第二定律,小角度单摆运动沿切线方向的运动方程可写为:
　

$$F_\theta=m\frac{d^2s}{dt^2}=-mgsin\theta$$
$s=l\theta$，小角度下$sin\theta\approx\theta$，运动方程可化为:
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta$$
易得解的形式为： $$\theta=\theta_0sin(\Omega t+\phi)$$
其中$\Omega=\sqrt \frac{g}{l}$，$\theta_0和\phi决定于单摆初始位置和速度$。单摆问题中运用欧拉法得到的结果与实际情况完全不符，实际中能量应当是守恒的，而在Euler法的计算结果中能量随时间不断增加。因此我们采用能解决这一矛盾、更加贴合实际的改进方法——Euler-Cromer方法。方法如下：
首先引入中间变量，将一个二次微分方程化成两个一次微分方程：
$$\frac{d\theta}{dt}=\omega$$
$$\frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}\theta$$
然后有 $$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_i-(g/l)\theta_i\Delta t \\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t \\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$$
与Eular法的不同在于计算$\theta_{i+1}$的时候用的不是$\omega_i$而是$\omega_{i+1}$，仅仅一个小改动，写成程序运行就可以得到符合实际情况的结果。在本文的计算中同时采用Euler方法和Euler-Cromer方法进行运算。

正文

作业3.7

　　引入空气摩擦和振幅为$F_D$、角速度为$\Omega_D$的正弦驱动力后，单摆的运动方程可写成：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$
解析解可得：
$$\theta(t)=\theta_sin(\Omega_Dt+\phi)$$
其中$\theta_0=\frac{F_D}{\sqrt{(\Omega^2-\Omega^2_D)^2+(q\Omega_D)^2}}$。
　　Euler-Cromer方法计算如下：
$$\begin{cases}\omega_{i+1}=\omega_i+(-\frac{g}{l}\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i))\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$$
　　Euler方法计算如下：
$$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_i+(-\frac{g}{l}\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i))\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t\end{cases}$$

• 阻尼运动
  　　当$\Omega\neq\Omega_D$时，即驱动力的频率和单摆运动频率不一致时，单摆为阻尼运动，能量不断损耗，最终停下来。 图像如下：
  
• 共振运动
  　　当$\Omega_D=\Omega=\sqrt{g/l}$时，即驱动力的频率和单摆运动频率一致时。单摆运动达到共振，摆动幅度不断增大。共振频率
  $$\theta_0=\frac{F_D}{\sqrt{(\Omega^2-\Omega^2_D)^2+(q\Omega_D)^2}}=\frac{F_D}{q\Omega_D}$$ 可以看出，共振频率$\theta_0与摩擦力常数q和驱动力角频率\Omega_D成反比$。
  　　$取g=9.8m/s，l=\frac{9.8}{4\pi^2}m，F_D=0.2N，q=1.0，\Omega=\Omega_D=\sqrt{g/l}=2\pi rad/s，\theta_0=\frac{0.1}{\pi}$，共振图像如下：
  
  代码在此
  

  结论
  1.可以看出Euler方法和Euler-Cromer方法在对运动趋势的定性描述上是一样的，不同的是Euler-Cromer方法对物体运动的定量描述更加符合实验事实；
  2.从图像上看出了单摆共振运动以及阻尼运动的存在，共振运动时振幅会越来越大，阻尼运动最终单摆会停下来；
  3.计算结果表明共振频率$\theta_0与摩擦力常数q和驱动力角频率\Omega_D$均成反比。

作业3.8

　　本题不考虑空气阻力和外力对单摆运动造成的影响，而是着重讨论在大角度摆动下单摆的运动情况。由于$sin\theta\approx\theta$的近似不再成立，单摆的角速度（周期）与振幅有关，本题讨论大角度摆动下单摆周期与振幅的关系。
　　大角度单摆的运动微分方程还原为：
　　

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta$$
　　Euler-Cromer方法计算如下：
$$\begin{cases}\omega_{i+1}=\omega_i-\frac{g}{l}sin\theta_i\Delta t \\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$$
　$取g=9.8m/s，l=1m，q=0，\theta_0=1,2,4,8,16$，图像如下：

代码在此

结论
可以看出在不满足$T=\frac{2\pi}{\sqrt {g/l}}$、周期与振幅无关的大角度单摆运动情况下，单摆周期与振幅密切相关，且单摆周期随着初始角度$\theta_0$（振幅）的增大而增大。

致谢

本次作业主要参考了陈洋遥大神的此段代码。