第七次作业 chapter2 exercise2.19

朱楚楚 材料物理 2013301510058
computationalphysics chapter2

摘要

棒球运动问题；空气阻力；自旋；玛格纳斯力；欧拉法；

背景

　　继上次作业讨论空气阻力因素对抛体运动的影响后，继续讨论计入自旋因素后的类球形抛体运动（以棒球投掷为例），并比较讨论考虑自旋与不考虑自旋时抛体运动的差别。

引言

　　棒球投手（pitcher）通常被称为主宰比赛胜负的灵魂人物，在不违背比赛规则的前提下他们训练出了各种各样运动轨迹诡异、让打者（hitter）无法预判的球种以取得比赛的主动权。而棒球的奇特设计也为投掷出变化多种的球种提供条件。
　　为了使打者不易击球，一个投手通常会具备数种球种来迷惑打者及影响打者节奏，主要分直球(fastball)与变化球(breakingball)两大系统。直球强调速度，变化球强调旋转。直球包括四缝线直球（four-seamer）、二缝线直球（two-seamer）、伸卡球（sinker）、切球（cutter），变化球包括变速球（change up）、滑球（slider）、指叉球（forkball）、快速指叉球（split-Finger fastball）、曲球（curve ball）、螺旋球（screw ball）、弹指球（knuckleball，又称蝴蝶球）。
　　本文主要讨论曲球的相关问题。

正文

• 原理
  　　球体在气流中运动时，如果其旋转的方向与气流同向，则会在球体的一侧产生低压，而球体的另一侧则会产生高压。向前运动的球在以顺时针方向旋转时，下侧由于迎着气流运动，受到的空气摩擦力会更大。这就得使球体下侧受到的压力比上侧更大，球体在压力的作用下便会朝上偏。如果球体以逆时针方向旋转，则相反。旋转的速度越快，产生的摩擦力也越大，左右两侧受到的压力差异也越大，这样就会使球体的方向发生更大和更具欺骗性的变化。
  
  　　棒球在空中运动并考虑自旋时，其运动微分方程如下:
  $$\frac{dx}{dt}=v_x$$
  $$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{B_2}{m}vv_x$$
  $$\frac{dy}{dt}=v_y$$
  $$\frac{dv_y}{dt}=-g-\frac{B_2}{m}vv_y$$
  $$\frac{dz}{dt}=v_z$$
  $$\frac{dv_z}{dt}=-\frac{S_0V_x\omega_z}{m}$$
  对比不考虑自旋情况下抛体的运动方程，区别在于考虑自旋时抛体z方向上受到玛格纳斯力$F_M=S_0\omega_z v_x$。
  　　根据书上给的提示，$\frac{B_2}{m}=0.0039+\frac{0.0058}{1+\exp[(v-v_d)/\Delta]}$，对棒球而言$v_d取35m/s$，$\Delta取5m/s$，玛格纳斯力系数取$\frac{S_0}{m}\approx4.1\times10^{-4}$，棒球质量为$m=149g$，射程最大时角度为$\theta=35^\circ$，投手能提供的初速度范围是50$\sim$110$mph$，计算时取最大值$110mph\approx49m/s$，$\omega_z$取五个不同的值进行比较：-200,-100,0,100,200。
  　　由于考虑自旋时需要三个坐标x，y，z才能描述，因此我们先在二维的范围内讨论比较没有自旋、没有空气阻力和没有自旋、有空气阻力两种情况下的抛体运动，再讨论有自旋、有空气阻力的情况，并讨论自旋角速度的大小对抛体运动的影响。处理棒球微分方程的方法同第六次作业——利用欧拉法给出差分方程求近似解。
• 没有自旋、没有空气阻力和没有自旋、有空气阻力的二维情形
  
  代码在此
• 有空气阻力且自旋角速度大小不同的三维情形
  
  代码在此

结论

1.空气阻力对抛体运动射程、轨迹的影响十分明显；
2.自旋角速度（玛格纳斯力）也对抛体物体轨迹造成了影响，使抛体运动轨迹面从二维抛物线变成了三维曲线；
3.自旋角速度的大小与抛体偏离竖直面的程度成正相关。

致谢

1.百度百科：玛格纳斯效应
2.关于三维考虑自旋和空气阻力的情形参考了陈洋遥、刘星辰大神的作业