第十二次作业 chapter4 exercise4.16

朱楚楚 材料物理 2013301510058
computationalphysics chapter4

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摘要

三体问题；

背景

　　在上次的作业中我们着重讨论了双星系统（地球+太阳）在各种情况下的性质，
既可以呈现椭圆（圆）的轨迹，还可以呈现进动，甚至还可能出现混沌现象。这次作业在上次的作业基础上往前进一步，完成书上的4.16讨论三体运动的情形。
　　三体问题是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。
现在已知，三体问题不能精确求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有几种特殊情况已研究。
　　三体问题最简单的一个例子就是太阳系中指由太阳、地球和水星三者组成的理想系统。我们将它们看成质点，如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道，没有水星时，地球绕太阳运动，轨迹近圆形且稳定、不随时间变化，太阳的运动可以忽略不计。因此，我们想要知道在加入水星之后地球运动所遭受的影响以及人为改变水星质量随之带来的影响。

正文

　　首先给出三体运动中地球与水星间引力作用：

$$F_{E,J}=\frac{GM_JM_E}{r_{EJ}^2}$$
水星质量：$M_J=1.9\times10^{27}Kg$，地球质量：$M_E=6.0\times10^{24}Kg$，太阳质量：$M_S=2.0\times10^{30}Kg$，这里也可以看出水星质量比地球大三个数量级，因此在双星系统中加进水星时，不可忽略水星的影响，$r_{EJ}$是地球与水星之间的距离，$G$是万有引力常数。
　　假设地球与水星的运动面共面于xy平面，那么$F_{E,J}$可以分解到x,y两个方向：
　　 $$F_{EJ,x}=-\frac{GM_JM_E}{r_{EJ}^2}cos\theta_{EJ}=\frac{GM_JM_E(x_e-x_j)}{r_{EJ}^3}$$
　　 $$F_{EJ,y}=-\frac{GM_JM_E}{r_{EJ}^2}sin\theta_{EJ}=\frac{GM_JM_E(y_e-y_j)}{r_{EJ}^3}$$
写成运动微分方程式：
$$\frac{dv_{x,e}}{dt}=-\frac{GM_Sx_e}{r^3}=-\frac{GM_J(x_e-x_j)}{r_{EJ}^3}$$ 　　
$$\frac{dv_{y,e}}{dt}=-\frac{GM_Sy_e}{r^3}=-\frac{GM_J(y_e-y_j)}{r_{EJ}^3}$$ 　
注意到$GM_J=GM_S(M_J/M_S)=4\pi^2(M_J/M_S)$，取初始条件为：$M_J=1.9\times10^{27}Kg$，$M_E=6.0\times10^{24}Kg$，$M_S=2.0\times10^{30}Kg$，x_S=0AU，x_E=1AU，x_J=5.2AU带入计算并改变水星质量，图像如下：





代码在此

结论

　　从图像上可以看出当水星质量较小时，太阳还能束缚住水星，水星围绕着太阳做稳定的圆周运动；随着水星质量的增大，水星运动范围变大，围绕太阳做进动，轨迹为圆环状，运动较稳定；当水星质量增加到原来的890倍时，其运动轨迹变得混乱，太阳对水星的引力不足以使水星绕太阳做圆周运动，运动变得较不稳定；当水星质量增加到原来的1170倍时，太阳再也无法束缚住水星，水星围绕太阳几周之后挣脱了太阳的束缚飞出里太阳系，再也不会回复到稳定的运动状态。

致谢

本次作业主要参考里上官俊怡同学的代码，十分感谢。