第五次作业 chapter1 exercise1.6

朱楚楚 材料物理 2013301510058
computationalphysics chapter1

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摘要

用欧拉法解决以人口增长问题为背景的模型，比较参数b在不同取值下的情况。

背景介绍

Population growth problems often give rise to rate equations that are first-order. For example,the equation

$$\frac{dN}{dt}=aN-bN^2(1.13)$$
might describe hoe the number of individuals in a population,N,varies with time. Here the first term aN corresponds to the birth of new members, while the second term - $bN^2$ corresponds to deaths. The death term is proportional to $N^2$ to allow for the fact that food will become harder to find when the population $N$ becomes larger. Begin by solving (1.13) with $b=0$ using the Euler method, and compare your numerical result with the exact solution. Then solve (1.13) with nonzero values $b$. Given an intuitive explanation of your results. Interesting values of $a$ and $b$ depend on the initial population $N$ . For small $N(0)$, $a=10$ and $b=3$ is a good choice, while for $N(0)=1000$ a good choice is $a=10$ and $b=0.01$.

正文

• $b=0$
  人口增长不受食物、空间等外界条件限制，死亡率为0。则人口随时间变化的方程可化为：
  $$\frac{dN}{dt}=aN$$
  可以解出此时人口增长模式为：
  $$N=N(0){e^a}^{t}$$
  令 $N(0)=1000,a=10,t取值[0,20]$.

此为未用欧拉法所得 $N$ 的精确解。
未用欧拉法所得所得人口增长图像如下：

代码在此

运用欧拉法所得人口增长图像如下：

代码在此

• $b\neq0$
  人口增长受食物、空间等外界条件限制，死亡率不为0。此时$N$与$t$的关系如下：
  $$\frac{dN}{dt}=aN-bN^2$$
  运用欧拉法如下
  对$N(t)$在$N(0)$点进行泰勒展开有: $$N(\Delta t)=N(0)+\frac{dN(t)}{dt}\Delta t+\frac{1}{2}\frac{d^2N(t)}{dt^2}(\Delta t)^2+...$$
  $$N(\Delta t)\approx N(0)+\frac{dN(t)}{dt}\Delta t=N(0)+(aN-bN^2)\Delta t$$
  据此编写python代码,根据题意令$N(0)=1000, a=10$并选择不同的 $b$ 和时间 $t、\Delta t$进行比较.
  运行程序所得人口增长图像如下：
  1）$b=0.01,\Delta t=100$
  
  2）$b>0.01,\Delta t=20$
  
  3）$b=0.0000009,\Delta t=5$
  
  4）$b=0.00000000000009,\Delta t=30$
  
  代码在此

结论

1）与本章1.1题不同，b=0时欧拉法所得数值解与精确解所有差别。从图像可以看出，运用欧拉法所得数值解的人口数量更快地变为非0值；
2）b=0.01时人口增长率为0，也就是说此时人口出生率=人口死亡率，人口将长期维持初始人口数量$N(0)$不变，这是一种稳定情况；
3）b>0.01时，人口无法维持长期稳定。人口数量经历一段时间的波动后必将迅速降至0；
4）b<0.01时，人口数量会在缓慢增长一段时间后开始激增，然后又迅速下降。人口数量可能骤降至0也可能下降一段时间后维持稳定。

致谢

　　这次作业依然参考了[蔡老师的代码]及同班同学的作业，除此之外还参考了matplotlib教程、python教程。结果如有不对请多多指正。