第九次作业 非线性动力摆中的混沌现象

(chapter3 exercise3.12)
朱楚楚 材料物理 2013301510058
computationalphysics chapter3

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摘要

混沌现象；物理单摆；

背景

非线性、阻尼、动力摆

　　上次作业中我们分别讨论了存在空气摩擦、驱动力的单摆运动

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$ 和非线性大角度单摆运动 $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta$$ 通过分析我们掌握了适合分析简单模型下单摆运动的数值方法，对是否存在外力、是否呈线性下单摆的运动等一系列物理问题有了一定了解。我们发现存在驱动力时在特定的驱动力频率下单摆可出现共振现象，而其他情况下单摆运动会逐渐停止；非线性大角度单摆运动与线性摆的运动类似呈现周期性。这次作业，我们将所有影响单摆运动的因素叠加到一起进行讨论，去除小角度近似、增加驱动力并考虑空气阻力的影响，此时单摆的运动方程扩展为：
　　 $$\frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$
　　 $$\frac{d\theta}{dt}=\omega$$
这种非线性、阻尼、动力单摆称之为“物理单摆”，是最符合实际情况的单摆模型。
物理单摆情形十分复杂，蕴含的物理行为更加丰富，其解不能解析给出，在$F_D$适当取值时，单摆模型还会呈现出混沌现象，但我们仍然可以用Euler-cromer方法类似地对其进行数值计算：
$$\begin{cases}\omega_{i+1}=\omega_i+[-\frac{g}{l}sin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{cases}$$
为了简单起见，将$\theta_{i+1}$的取值范围限制在[-$\pi$，$\pi$]内。

混沌现象

　　混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。它包括如下特征：
（1）内在随机性。混沌系统是由完全确定的方程描述的，无需附加任何随机因数，但系统仍会表现出类似随机性的行为；
（2）分形性质。混沌过程中的奇异吸引子（lorenz吸引子、Henon吸引子）都具有分形的结构；
（3）标度不变性。在由分岔导致混沌的过程中，混沌遵从Feigenbaum常数系。
（4）敏感依赖性。只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

本文论述

（1）驱动力大小、摩擦力系数不同时单摆的运动图像，出现混沌现象的单摆运图像；
$（2）\omega与\theta分别同相(\Omega_Dt=2n\pi)、不同相(\Omega_Dt=2n\pi+x,x\in(-\pi,\pi))时单摆的相图；$

正文

• 驱动力大小不同时单摆的运动图像
  $q=0.5,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04s,\theta_0=0.2,\omega_0=0，F_D=[0,0.5,1.2]$
  
  $q=1.2,其余同上$
  
• 摩擦力系数不同时单摆的运动图像
  $F_D=0,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04s,\theta_0=0.2,\omega_0=0，q=[0,0.5,1.2]$
  
  $F_D=0.5,其余同上$
  
  $F_D=1.2,其余同上$
  
  代码在此
• 相空间描述单摆运动
  图像如下：
  $q=0.5,F_D=[0,0.5,1.2],其余同上$
  
  $F_D=0.5,q=[0,0.5,1.2],其余同上$
  
  代码在此
• $\omega与\theta同相(\Omega_Dt=2n\pi)$时的相图
  $F_D=1/2,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04s,\theta_0=0.2,\omega_0=0，q=[0,0.5,1.2]$
  图像如下：
  
• $\omega与\theta不同相(由上往下依次为\Omega_Dt=2n\pi+\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\pi)$时的相图
  $F_D=1/2,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04s,\theta_0=0.2,\omega_0=0，q=[0,0.5,1.2]$
  图像如下：
  

  $\Omega_Dt=2n\pi+\frac{\pi}{4}$
  
  $\Omega_Dt=2n\pi+\frac{2\pi}{4}$
  
  $\Omega_Dt=2n\pi+\frac{3\pi}{4}$
  
  $\Omega_Dt=2n\pi+\pi$
  

代码在此

结论

1.$F_D=0,q=0$时单摆出现了共振现象；
2.$F_D=0,q\neq0$时单摆为阻尼运动，经过一段时间后运动就停止了；
3.当$F_D,q$都不太大的时候，单摆经过一段时间的不稳定后做简谐运动，当$F_D$增大或$q$减小单摆运动的周期性消失，出现混沌现象。因此$F_D和q$对混沌现象的出现影响是相反的；
4.在相空间示意图中，$\Omega_Dt=2n\pi(同相)$与$\Omega_Dt=\pi$图像相同，与$\Omega_Dt=\frac{\pi}{2}$图像翻转了$180^\circ$，$\Omega_Dt=2n\pi+\frac{\pi}{4}与\Omega_Dt=\frac{3\pi}{4}$图像翻转了$180^\circ$。

致谢

代码主要参考了刘星辰大神的作业，非常感谢。