第六次作业

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摘要

本文以加农炮为例介绍抛体运动.将给出考虑重力加速度,空气阻力,高纬度下空气密度变化三个影响因素下的运动公式及图像

背景介绍

抛体运动是生活中最常见的运动之一.除了重力加速度的作用,出射角度,空气阻力及会对空气阻力造成影响的空气密度变化均会对其运动轨迹造成显著变化.要精确绘制其运动轨迹,必须考虑这些因素的影响.
设加农炮的出射速度为v,与水平线的夹角为$\theta$,考虑重力加速度和空气阻力,此后速度公式为:

$$v_{x,i+1}=v_{x,i}+\frac{f_x}{m}t$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-gt+\frac{f_y}{m}t$$
其中空气阻力f是速度和空气密度的函数,由热力学空气密度与高度的关系:
$$\rho=\rho_0(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha$$
再此基础上空气阻力可写为
$$f_x=-B(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha v^2/mcos\theta =-B(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha vv_x/m$$
$$f_y=-B(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha vv_y/m$$
其中a=6.5e-3K/m,$\alpha=2.5$,$T_0$为当时温度,B为常数
而水平位移和竖直位移分别为:
$$x_{i+1}=x_i+v_i\Delta t$$ $$y_{i+1}=y_i+v_i\Delta t$$

正文

源代码
对自由抛体运动，考虑风阻的抛体运动，考虑风阻关于空气密度变化的图像分别如下：

可以看到，在初速度为700m/s,出射角度为45度的情况下，自由抛体运动与考虑风阻后轨迹相差4倍左右，而考虑空气密度后的射程又近了200米左右。
对修正过后的抛体运动模型，不同出射角度，运动轨迹的变化如下：

可以看到，运动距离并非随出射角度增大而增大，出射角度大概在45度左右相同初速度运动距离最远。
对一个已知目标，如y=8000时，设出射角度为45度，误差在10米以内的初速度应为282m/s,图像如下

误差大致如下：

致谢

感谢罗明宇同学的耐心指导