第八次作业

homework8

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2013302290059

摘要

这次我们研究的对象是振动，其中简谐运动是最基础的振动。我们以单摆为研究对象，画出其简谐运动和受迫振动的图像。

背景

简谐运动是最理想的振动模型，如果不受摩擦力，将会一直持续循环下去。这对我们的模拟计算造成一些困难。因为无论哪一种算法都是近似计算，都会产生误差。一旦不满足能量守恒，我们模拟的运动图像将不会持续下去。Euler-Cromer算法是基于欧拉近似的改良算法，对简谐运动的模拟达到了可观的精确，方程如下：

$$\omega_{i+1}=\omega_i-(g/l)\theta_i\Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$ 此算法相较Euler算法进步的地方是其满足能量守恒得基本原理。在此基础上，我们再研究受迫振动，设其动力学方程为：
$$\ddot \theta=-(g/l)\theta-q\dot\theta+F_Dsin(\Omega_Dt)$$ 其中g为重力，l为臂长，$\theta$是转动角，q为阻尼系数，$F_Dsin(\Omega_Dt)$是外力方程。用Euler—Cromer近似算法可写作：
$$\omega_{i+1}=\omega_i-[(g/l)\theta_i+q\omega_i-F_Dsin(\Omega_Dt)]\Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$ $$t=t_{i+1}+\Delta t$$

正文

code
我们先用Euler—Cromer算法得到简谐振动图像为：

加上外力后的受迫振动为：

分别改变阻尼系数后得到：

可知q越大衰减得越快。
改变阻力振幅后得到的图像如下：

可以看到运动刚开始是不稳定的，后来呈周期性运动，且周期与总阻力周期相同，即发生共振。
改变外力的周期得到图像如下：

可以看到当周期较小时运动图像将不会发生变化

致谢

这次独立完成，很开心