第十三次作业

homework13
2013302290059

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摘要

这次我们完成的是5.3的作业，利用雅各比弛豫算法计算了两块平行金属棒之间的电场分布，画出两根金属板之间的等电势图，电场分布示意图，和一个三维立体图。

背景

计算不包含电荷的电场分布，电势满足满足拉普拉斯方程：

$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$$
电场满足：
$$E_i=\nabla _iV$$ 其中i=x,y,z。
求其数值近似解，可得：
$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}\approx\frac{V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)-2V(i,j,k)}{(\Delta x)^2}$$
对$V(i+1,j,k),V(i-1,j,k)$同理可得，以及对y，z方向也适用。将其代入拉普拉斯方程可得：
$$V(i,j,k)=\frac{1}{6}（[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)）$$
对应二维情形：
$$V(i,j)=\frac{1}{4}（[V(i+1,j)+V(i-1,j)+V(i,j+1)+V(i,j-1)）$$
猜测一个初始边界条件，初始$\Delta V$=0,,用以上方法得出边界内的电势点分布，令：
$$V_{n+1}=\frac{1}{4}（[V_n(i+1,j)+V_n(i-1,j)+V_n(i,j+1)+V_n(i,j-1)）$$
再令$\Delta V=|V_n(i,j)-V_{n+1}(i,j)|$，代入上式，依次求出每个点的值，循环n次，知道点的值不再变化，即求得系统稳定下的电势分布。

正文

code
如图所示

两金属棒导体代表两个等势面。设步长$\Delta =0.05$,得出等电势线分布：

利用$E_i=\nabla _iV$，得出电场分布图为：

画出三维立体图为：

这与我们平时定性描绘的电场分布式吻合的。



综上，我们利用雅各比弛豫算法计算了两块平行金属棒之间的电场分布，画出两根金属板之间的等电势图，电场分布示意图，和一个三维立体图。

致谢

这次的代码借鉴了上官俊怡同学的代码，特此鸣谢！