第十次作业

homework10
2013302290059

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摘要

单摆的混沌现象是最简单的混沌现象之一。这次我们研究流体中的混沌现象，运用洛伦兹模型得出流体运动的方程组，通过Euler-Cromer方程得出想要的数值解。如速度-时间图像，速度-温度图像，速度-密度图像等，最后化了一个振幅参数在混沌现象中的影响。

背景

流体力学是物理研究的几大科目之一。对运动中的流体，它的速度应该和温度、密度有关。将牛顿力学运用在流体运动中得出Navier-Stokes方程，再将其中的变量简化抽象，得出洛伦兹模型流体运动方程：

$$\frac{dx}{dy}=\sigma(y-x)$$ $$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$$ $$\frac{dz}{dt}=xy-bz$$
其中x表征温度，y表征密度，z表征速度。其中xz，xy为非线性项，$\sigma$,r,b为运动参数。通过Euler-Cromer方程得出想要的数值解，方程可表示为：
$$v_{x,i+1}=\sigma(y_i-x_i)$$ $$v_{y,i+1}=-x_i+rx_i-y_i$$ $$v_{z,i+1}=x_iy_i-b_iz_i$$ $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i+1}dt$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i+1}dt$$ $$z_{i+1}=z_i+v_{z,i+1}dt$$
通过以上方程可得出简化流体运动的近似解。

正文

code
我们先令$\sigma$=10,b=3/8，初值x=1，y=0，z=0,画出速度-时间图：

可以看到，当r=5和10时，流体最终会成为匀速运动；当r=25时，流体的速度不会稳定下来，而是出现混沌现象。
我们再画出温度-速度图像：

相当于z（x，y）在x-z面的投影。进一步得出当y=0时的切面如下：

x=0时在y-z平面的投影如下：

我们忽略了t<=30以前的循环，因为t<=30以前的循环不稳定。从中定性可以看出在洛伦兹模型中温度和密度对速度的影响是差不多的。
书上让我们考虑一下r更大的情况，于是得到了下图：

可以看出r微小的差别就会对速度产生巨大的影响，和我们所知道的混沌现象是吻合的。

致谢

计算物理书