@tongqiancao 2016-06-19T07:08:11.000000Z 字数 1730 阅读 773

第十一次作业

homework11
2013302290059

摘要

我们这次完成了作业4.7的内容。即关于双星问题的求解。我们分别讨论了当总动能小于0，即双星轨道闭合时， $m_1/m_2=1$ 和 $m_1/m_2\neq1$ 的情况。同时还讨论了总能量大于0的情况，行星的轨道。我们都是在质心系下得到的解。

背景

行星问题最简单的模型就是双星问题。星体间的作用即牛顿的万有引力：

$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^2}$
根据牛顿第二定律，将运动从坐标轴分解得：

$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F_{G,x}}{M_E}$

$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{F_{G,y}}{M_E}$
运用天体单位，令

$GM_S=4\pi^2AU^3/yr^3$
其中

$M_S$ 是太阳质量。将其代入双星模型可得：

$a_x=-\frac{4\pi^2m/M_sx_i}{r_i^3}$

$a_y=-\frac{4\pi^2m/M_sy_i}{r_i^3}$
令m1=m1/Ms,m2=m2/Ms,运用Euler—Cromer方法解数值解：

$v_{1x,i+1}=v_{1x,i}-\frac{4\pi^2m1}{r_i^3}(x_1-x_2)\Delta t$

， ，

$x_{1，i+1}=x_{1，i}+v_{1x,i+1}\Delta t$

$v_{1y,i+1}=v_{1y,i}-\frac{4\pi^2m1}{r_i^3}(y_1-y_2)\Delta t$

， ，

$y_{1，i+1}=y_{1，i}+v_{1y,i+1}\Delta t$

$v_{2x,i+1}=v_{2x,i}-\frac{4\pi^2m1}{r_i^3}(x_2-x_1)\Delta t$

， ，

$x_{2，i+1}=x_{2，i}+v_{2x,i+1}\Delta t$

$v_{2y,i+1}=v_{2y,i}-\frac{4\pi^2m1}{r_i^3}(y_2-y_1)\Delta t$

， ，

$y_{2，i+1}=x_{2，i}+v_{2y,i+1}\Delta t$
现在我们来讨论初值问题。由理论力学知道，在作用力是与距离成平方反比的情况下，当总动量小于零时，双星出现闭合轨道；当总动量大于零时，双星轨道可能不闭合。不管怎么说，双星运动都具有初值敏感性。考虑动量小于0时，设双星做闭合的圆周运动，加速度仅由万有引力提供。令n=m1/m2,初始位置在水平X轴上

$v1_x=v2_x=0,y1=y2=0,x_1-x_2=1$ ,则初始速度可由下式获得：

$a_1=\frac{{v_{1,y}}^2}{x_1}=\frac{4\pi^2m1}{(x_1-x_2)^2}$

$a_2=\frac{{v_{2,y}}^2}{x_2}=\frac{4\pi^2m2}{(x_2-x_1)^2}$

$\frac{x_1}{x_1-x_2}=\frac{m_2}{m_1+m_2}$

$\frac{x_2}{x_2-x_1}=\frac{m_1}{m_1+m_2}$
解得:

$x_1=\frac{1}{1+n}$

$x_2=\frac{n}{1+n}$

$v_{y,1}=\frac{2\pi\sqrt{m_1}}{1+n}$

$v_{y,2}=\frac{2\pi\sqrt{m_2n}}{1+n}$
当

$E=\frac{1}{2}m_1^2+\frac{1}{2}m_2^2-\frac{4\pi^2(m_1+m_2)}{r}<0$ 时，轨道可能不闭合。

正文

code
令m1=1，m2=1得出的图像如下：

可以看到双星在一个圆周轨道上。本来应该是圆周轨道的，不知道为什么画出来是个椭圆。
令m1=2,m2=1，轨道模型如下：

可见双星的轨道是两个同心圆（椭圆？），双星运动半径之比为1:2。运动较稳定。
为了验证一下我们的结果，又令m1=10，m2=1，得出的结果如下：

依旧比较符合我们的模型。双星运动半径之比为1:10.
当E>0时，m1=m2，vy1=1，vy2=-1,双星运动轨道模型如下：

竟然是两个正圆！
当E>0时，m1=m2，vy1=1，vy2=-2,双星运动轨道出现不稳定的状态：

其他初值也是如此。
综上，我们讨论了双星不同质量比，不同总动量的运动情况，得出了双星运动与初值的极大依赖性。