第十二次作业

homework12
2013302290059

---

摘要

这次我完成的是4.16的内容。继上次双星问题之后，我们又来讨论三体问题。我们依然在太阳系中选取模型，选取太阳-木星-地球作为我们的研究对象。我们先得出了真实比例下的太阳-木星-地球运动轨迹，接着依次将木星放大10倍，100倍，1000倍，看其对太阳和地球运动轨迹的影响。我们的讨论始终在二维情形下成立。

背景

《三体》中叙述了三个质量相差不大的星体由于运动轨迹的混沌现象，使生活在其一的生命苦不堪言，最终走向了侵略地球的道路。真实的太阳系也是有可能出现这种三体模型。我们选取太阳-木星-地球为研究对象，由上一篇双星模型的讨论，扩大到三体中，得出质心系下三体运动的运动学方程：

$$a_{lx}=\sum_{i=0}^3\frac{4 \pi^2m_i}{r_li^3}(x_l-x_i)$$ $$a_{ly}=\sum_{i=0}^3\frac{4 \pi^2m_i}{r_li^3}(y_l-y_i)$$
其中l，i=1,2,3表示星体的编号，分别代表太阳，木星和地球，m1=m1/Ms,m2=m2/Ms,m3=m3/ms。利用Euler—Cromer求数值解，方程组如下：
$$v_{1x,i+1}=v_{1x,i}-(\frac{4\pi^2m_2}{(x_1-x_2)^2}+\frac{4\pi^2m_3}{(x_1-x_3)^2})\Delta t$$ $$x_{1，i+1}=x_{1，i}+v_{1x,i+1}\Delta t$$ $$v_{1y,i+1}=v_{1y,i}-(\frac{4\pi^2m_2}{(y_1-y_2)^2}+\frac{4\pi^2m_3}{(y_1-y_3)^2})\Delta t$$ $$y_{1，i+1}=y_{1，i}+v_{1y,i+1}\Delta t$$ $$v_{2x,i+1}=v_{2x,i}-(\frac{4\pi^2m_1}{(x_2-x_1)^2}+\frac{4\pi^2m_3}{(x_2-x_3)^2})\Delta t$$ $$x_{2，i+1}=x_{2，i}+v_{2x,i+1}\Delta t$$ $$v_{2y,i+1}=v_{2y,i}-(\frac{4\pi^2m_1}{(y_2-y_1)^2}+\frac{4\pi^2m_3}{(y_2-y_3)^2})\Delta t$$ $$y_{2，i+1}=x_{2，i}+v_{2y,i+1}\Delta t$$ $$v_{3x,i+1}=v_{3x,i}-(\frac{4\pi^2m_1}{(x_3-x_1)^2}+\frac{4\pi^2m_2}{(x_3-x_2)^2})\Delta t$$ $$x_{3，i+1}=x_{3，i}+v_{3x,i+1}\Delta t$$ $$v_{3y,i+1}=v_{3y,i}-(\frac{4\pi^2m_1}{(y_3-y_1)^2}+\frac{4\pi^2m_2}{(y_3-y_2)^2})\Delta t$$ $$y_{3，i+1}=y_{3，i}+v_{3y,i+1}\Delta t$$
现讨论其初值问题。不妨设太阳初始位置为（0,0），木星和地球初始位置在x轴上，可令地球位置$x_e=5.2AU,x_J=1AU,所以质心位置:$ $$x_c=\frac{0+m_2x_J+m_3x_e}{m_1+m_2+m_3}$$ $$y_c=0$$ 所以木星地球在球星系下的坐标为： $$x_2=x_J-x_c$$ $$x_3=x_e-x_c$$ 与双星问题同理，可通过其运动学方程求得其初速度为： $$v_2x=v_3x=0$$ $$v_{2y}=2\pi\sqrt{\frac{x_2^2+(x_2-x_3)^2}{x_2^2(x_2-x_3)^2}}$$ $$v_{3y}=2\pi\sqrt{\frac{x_3^2+(x_3-x_2)^2}{x_3^2(x_3-x_2)^2}}$$ 为使问题简化，我们设体系总动量为0，即： $$m_1v_s=-(m_2v_J+m_3v_e)$$ 可得太阳的初始速度： $$v_{3x}=-\frac{m_2v_2x+m_3v_3x}{m_1}$$ $$v_{3y}=-\frac{m_2v_2y+m_3v_3y}{m_1}$$

正文

code
我们先令$m_1:m_2:m_3=2000:1.9:6e-3$，即太阳系中的真实比例，用我们上面讨论的结果赋初值，得到木星和地球以太阳为中心做圆周期运动：

如图，太阳在中心做微小的圆周运动，木星和地球以太阳为中心做圆周运动，运动半径之比约为5：1。
使木星质量扩大到10倍时得到图像如下：

地球运动轨迹每次都发生了微小的变化，总体还是稳定的，对地球上的气候有一定的影响，气候应该越变越冷。
木星质量扩大100倍：

这时太阳和地球的轨迹都发生了极大变化，太阳的运动半径增大，而地球运动极不稳定，甚至于太阳轨迹发生了重叠。可以想见，如果真是这种情况，地球上热的时候液态水将被升华完，冷的时候到处都是南极洲。《三体》的情况有可能变成现实。
当木星质量扩大到原来的1000倍：

木星与太阳质量在一个量级，地球轨道彻底改变，每年运动的轨道都与上一年相差极大，无规律可言。

综上，我们讨论了木星质量改变时，太阳和地球轨道的改变，可以看到地球轨道改变最大。

致谢

感谢罗明宇同学的耐心教导。