棒球运动轨迹的研究

作者:汪琪

摘要

本文主要描述了棒球运动轨迹的多样性随外界环境的变化。由于棒球表面不规则，且并不光滑，且由于其不对性性，其在空气中运动时，使其其受力不均，进一步导致其在空气中运动不规则。本文主要考虑空气阻力与Magnus力对其运动轨迹的影响，且绘出3D图形以便于观察其运动轨迹。

背景

棒球是一项特别受人热爱的运动，在美国尤为流行，每年都会举行盛大的“大碗杯”棒球赛，相应产生了很多对相应的研究，其复杂的运动模型也被广泛运用到运动员平时日常教学当中。

图为国民老公宋仲基打棒球

棒球运动作为如此受欢迎的运动，且对不规则物体在空气中的运动的研究具有借鉴意义。在体育与以及日常生活中的动力学研究也具有实际意义。

正文

棒球的运动在空气中出了考虑重力，还由空气阻力以及Magnus力，其运动方程可由下式给去:

$$\begin{equation} m \frac{\mathrm{d} ^2 \vec r}{\mathrm{d}t ^2}=m \vec g - B_2v^2 \vec v^0+S_0 \vec v \times \vec \omega, \tag{1} \end{equation}$$
式中m是棒球的质量，$\vec v^0$是速度方向的单位矢量，g是重力加速度，$\omega$为棒球旋转角速度。$-B_2 v^2 \vec v^0$空气阻力项，$S_0 \vec v \times \vec \omega$为Magnus力。$S_0$在棒球速度范围内尚可认为基本是一常量，而$B_2$则显著依赖于棒球的速度，其形式可表述为：
$$\begin{equation} \frac{B_2}{m}=0.0039+\frac{0.0058}{1+e^{\frac{v-35}{5}}}.(\mathrm{SI}) \tag{2} \end{equation}$$
在这里我们运用欧拉法对其近似求解，其方程可描述为：
$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_{i+1}&=v_{x,i}\Delta t+x_{i} \\ v_{x,i+1}&=(-(B_2/m) v v_x+(S_0/m) v_y \omega _z) \Delta t+v_{x,i} \\ y_{i+1}&=v_{y,i}\Delta t+y_{i} \\ v_{y,i+1}&=(-g-(B_2/m) v v_y+(S_0/m) v_z \omega _x) \Delta t+v_{y,i} \\ z_{i+1}&=v_{z,i} \Delta t+z_i \\ v_{z,i+1}&=(S_0/m) v_x \omega _y \Delta t+v_{z,i} \\ \end{aligned} \right. \tag{3} \end{equation}$$
用以上方程可以近似求出求轨迹的近似解，我们写入程序对，给出了对应不同转速的棒球运动轨迹，在这里取棒球初速度为$110 \mathrm{mph}$，发射角为45度 ,阻力系数由式（2）给出，而Magnus力的系数则取为$S_0/m=4.1 \times 10^{-4}$。
其程序：代码
运行效果图为：

结语

本次程序有效绘出了3D图像，并对不同转速的棒球运动轨迹做出了比较，形象直;但对其计算过程中存在的误差没有进行二次修正，可对其进行进一步修正。
致谢：陈洋遥：https://www.zybuluo.com/cyy652415049/note/338769
$~~~~~~~$常用数学符号的LaTex表示方法: $~~~~~~~$http://www.mohu.org/info/symbols/symbols.htm