由抛体运动到精确打击系统

作者：汪琪

摘要

本次作业是为编写程序解决导弹精确打击问题。首先我们从抛体运动出发，抛体运动是我们熟知的经典问题，在不计入空气阻力时，其运动方程十分简单，可以直接积分求解；但若引入空气阻力，则使抛体的运动方程变得十分复杂，一般只能数值的求解；特别是当计及空气阻力形式与海拔高度等复杂因素的关系时，抛体运动方程将更加复杂，我们将利用欧拉方法求解其运动方程。而研究抛体运动对于炮弹轨迹、姿态问题具有重要意义。在此我们简化模型，暂不考虑炮弹的大小，只将其作为抛体质点处理。且不考虑地球表面的弯曲，起伏以及障碍物的存在。利用此简化模型研究炮弹飞行射程对初速和发射角的依赖关系。在此我们使用的方法是通过任意角扫描得到时欲命中靶所需的初速度或发射角，并由此估算出命中靶位所需的最小初速度。

背景介绍

随着信息时代的到来，现代化军事打击愈加强调精确打击。譬如，美军空袭阿富汗，甚至是直接用导弹击毙恐怖组织头目的事件无不伴随精确打击系统的影子。同时误伤平民的事件也让群众倍感恐慌。本次从抛体运动到精确打击的研究对精确打击系统提供了自己解决思路，从而加深了自己对精确打击系统的认识，也为其未来优化做了理论准备。

正文

在这里我们我们为使问题简单易操作，先讨论二维情况。在考虑对于抛体运动且仅考虑重力的情况下，将其分为x方向与y方向.其运动方程可描述为

$$\begin{cases} \frac{d^2x}{dt^2}=0, \\ \frac{d^2y}{dt^2}=g, \end{cases}$$
其中g是重力加速度项，如果还考虑空气阻力以及克里奥力等作用，其方程可以描述为：
$$\begin{cases} \frac{d^2x}{dt^2}=f_x(x,y,v_x,v_y,t), \\ \frac{d^2y}{dt^2}=-g+f_y(x,y,v_x,v_y,t), \end{cases}$$
其中$f_x,f_y$在把大气看空气绝热模型，其表述形式如下
$$\begin{cases} f_x&=-B(1-\frac{ay}{T_0})^{\alpha}vv_x/m \\ f_x&=-B(1-\frac{ay}{T_0})^{\alpha}vv_y/m\\ \end{cases}$$
其中m为抛体质量，B是不显著依赖于抛体性质和状态的常数，$\alpha$对空气约为2.5，T是热力学温度，而a是经验数，约是$6.5*10^{-3}K/m$。因此，方程组结合一定的初始条件就完全确定在只考虑空气对物体运动二次方项影响后的抛体的运动状态。对于该方程，我们可以降阶并用欧拉法对其求解，其方程形式可以转化为;
$$\begin{aligned} x_{i+1}&=v_{x,i}\Delta t+x_{i} \\ v_{x,i+1}&=f_x \Delta t+v_{x,i} \\ y_{i+1}&=v_{y,i}\Delta t+y_{i} \\ v_{y,i+1}&=(-g+f_x) \Delta t+v_{y,i} \\ \end{aligned}$$
在这里这里，为了寻找到能命中目标的最小速度，我们不仅要对炮弹的初速度进行扫描，还要对炮弹的发射角进行扫描，以求得命中靶位的最小所需发射速度及相应的发射角。其扫描方法，采用二分法的方式使之不断逼近目标位置。
其具体程序为：https://github.com/waqi1/computationalphysics_N2013301020174/blob/master/%E4%BD%9C%E4%B8%9A6.py

其运行结果：

从其结果看其存在40m的误差，相对于导弹的爆炸范围，其为可接受范围。

结语

本次程序为在简化模型下提高的命中率与尽可能减小初速度的方式，对今后研究进一步研究精确打击系统提供了基础，并提供了一种思路。其精确程度，还有待进一步完善。

致谢：
1常用数学符号的LaTex表示方法:http://www.mohu.org/info/symbols/symbols.htm
[2] matplotlib-绘制精美的图表:http://old.sebug.net/paper/books/scipydoc/matplotlib_intro.html
[3]陈洋遥，计算物理第6次作业 抛体运动：https://www.zybuluo.com/cyy652415049/note/333582