行星中的共振现象

汪琪 2013301020174

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摘要

木星是太阳系中最大的行星，其引力对小行星运动会产生不小的影响。当木星的轨道周期与小行星的轨道周期成整数比时，小行星最靠近木星的位置将是确定的，在这些位置上，小行星受到木星引力的摄动非常明显，这些摄动长期累积，导致小行星的轨道成为不断进动的椭圆，且离心率越来越大，最终有可能撞上其他的行星，这样的现象与常见的共振现象有异曲同工之处，可以认为是太阳系中的共振现象。而小行星周期与木星周期不成整数比时，近木点位置则是不确定的，因此木星的摄动在长时间内相互抵消，不能对小行星的轨迹产生明显的影响。本文主要是在Kirkwood gaps附近利用数值方法模拟小行星的运动。

背景

在太阳系中，最早发现的几颗行星到太阳的距离可以由Titus-Bode序列给出。然而，在火星和木星之间，却有一个空缺。经过细致的观察，天文学家自1800年左右逐渐在该位置发现了许多的小行星，形成了庞大的小行星带。实际上，小行星在整个太阳系内均有分布，将小行星密度按与太阳的距离绘制成曲线，可以发现在许多位置几乎不能出现小行星。在19世纪中期，天文学家Daniel Kirkwood即发现了小新星的这种空缺现象，后来，这些小行星不能分布的位置被称为KirkWood gaps。

正文

木星周边的小行星和木星均除受到太阳引力外，他们之间还存在引力相互作用。考虑到太阳的质量比较大，假设保持静止不动。小行星和木星的受力可以表述如下：

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \textbf{f}_{a} &= -\frac{GM_s M_a}{r_{a,s}^3}\textbf{r}_{a,s}-\frac{GM_j M_a}{r_{a,j}^3}\textbf{r}_{a,j} \\ \textbf{f}_{j} &= -\frac{GM_s M_j}{r_{j,s}^3}\textbf{r}_{j,s}-\frac{GM_j M_a}{r_{j,a}^3}\textbf{r}_{j,a} \\ \end{aligned} \right. \tag{1} \end{equation}$$
利用牛顿第二定律，即可得到两者的动力学方程。将动力学方程向两个坐标轴投影，并改写成差分方程，即可利用Euler-Cromer方法数值求解小行星和木星的运动。
其程序如：https://github.com/waqi1/computationalphysics_N2013301020174/blob/master/12.py

其分别为3/4与6/7gap处的小行星运动轨迹图像。

总结

由上图像知在距离木星更近的Kirkwood gaps处，小行星受木星影响应该更为强烈，其中6/7周期gap处的小行星移明显偏离轨道。

致谢：陈洋遥https://www.zybuluo.com/cyy652415049/note/378419