简单空气阻力模型分析

作者：汪琪

摘要

该程序主要是对简单的空气阻力模型进行分析，对给定的运动常微分方程用泰勒展开的方式对其求近似解并绘出图像。

背景

在物体低速运动且考虑且只考虑简单的空气摩擦的情况下，物体的运动可以由以下微分方程描述：

$$\frac{dv}{dt}=a-bv ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 式（1）$$
式中v表示物体的运动速度，a表示物体运动的加速度，b（b>0)表示物体的运动阻力系数。这个公式是可以直接求出解析解的，然而实际问题往往比这复杂，故我们采用泰勒级数展开的方法对其进行近似求解分析，以方便以后对更复杂的问题进行分析，求解。

正文

可对其移项，积分对其求出精确解，如下：

$$v=ce^{(-bt)}+\frac ab~~~~~~~~~~~~~~~~式（2）$$
而该程序对其采用迭代法对其求近似解：
由式（1)可变形得$v(t+dt)=v(t)+(a-bv(t))~~~~~式（3）$
运用此时对其多次迭代，可以得到之后任意时刻速度的取值，且随着dt的取值越小，其会越接近真实值。
这里对，a,b,dt的取值，要确保参量b>0，而dt通过$dt=\frac{t_{end}}{N}$中对N的控制来确定dt。而v(o)的取值不能超过相对论速度，保持其在经典力学范围内。对程序中end_t的取值参照了刘文焘同学的取值,取为$\frac{log1000}{b}$
其程序如下：
作业5
按照题意取a=10,b=0.1时：
1）取v（0）=600

2）取vv（0）=60

结语

与实际解相比，该程序所给的解存在一定误差，是由于其泰勒展开给出$v(t+dt)$的形式没有考虑其高阶导数项。而曲线的走势与v(0)的取值有关，当$v(0)>\frac ab$时其为单调减函数；当$v(0)<\frac ab$时其单调增，且其最终取值与$\frac ab$逐渐接近。

鸣谢：刘文焘同学
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