混沌现象简单分析

汪琪 2013301020174

摘要

本文主要研究混沌摆中在受迫力大于阻尼力的情况下，摆动频率和摆角之间的关系；然后分析得到了在受迫力处于不同相位时单摆的奇异吸引子；最后将各个相位时的吸引子进行对比得出结论。

背景

混沌现象是生活中经常遇到的现象，它说明了初值对结果的影响很大，稍微改变一下初值，其结果往往截然不同。蝴蝶扇动翅膀带来的暴风就是这一现象恰如其分的说明。

正文

对于非线性摆其运动状态可描述为：
$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)\tag{1}$
运用Euler-Cromer法近似，参考教材，可以得到每一时刻谐振子的状态可用如下公式可以进一步描述为：
$\omega_{i+1}=\omega_{i}-[\frac{g}{l}sin\theta_i+q\omega_i-F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta{t}\tag{2}$
$\theta_{i+1}=\theta_{i}+\omega_{i+1}\Delta{t}\tag{3}$
为了观察到混沌运动的内禀特征，我们只取驱动力周期的整数倍时刻去观察摆的运动，把这些时刻的相画在相图上，得到所谓的庞加莱截面。用这样的类似于Stroboscope的观察方法，可以大大简化摆动的运动情况。
其程序为：https://github.com/waqi1/computationalphysics_N2013301020174/blob/master/%E4%BD%9C%E4%B8%9A.py
效果图如下：

总结

　 本次程序观察到驱动力幅值为1.2时，产生的混沌运动，并观察到了细微结构，发现其细微结构只不过为其宏观结构的延拓。