正规子群

抽象代数

定义

设$G$是一个群，$H$是$G$的一个子群，如果对$\forall a\in G$，都有$aH=Ha$，则称$H$是$G$的正规子群.
即对于$G$中任意元素，$H$保持对其左右陪集是一致的.

等价条件

• $H$是$G$的正规子群
• 对$\forall a\in G$，都有$aHa^{-1}= H$
• 对$\forall a\in G$，都有$aHa^{-1}\subset H$
• 对$\forall a\in G,h \in H$，都有$aha^{-1}\in H$
  第二个要比后两个逻辑上更强，所以第二个一般作为性质，后两个一般做为判定条件.
  具体的证明见唐p20.

例子

• $\{e\}$和$G$自身总是$G$的正规子群。如果$G$只有这两个正规子群，就叫做简单群。
• 任何有限维欧几里得空间中，平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。
• n次交错群 $A_n$ (即所有偶置换)是n元对称群$S_n$的正规子群。
• 设$G$是群，证明：内自同构群Inn(G)是自同构群Aut(G)的正规子群。
  

  同构映射：保运算、一一对应的映射
  自同构群：自己到自己的所有同构映射构成的群
  内自同构群：自同构群的一个例子，取$T_a:x\mapsto axa^{-1}$，可以证明$T_a$是自身到自身的一种同构映射。令$Inn(G)=\{T_a|a\in G\}$,可知它是 $Aut(G)$的一个子群
  证明略

参考资料

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