抽代注记

抽象代数

置换相关

• 原始表示法
  $M$是一个非空集合,$T(M)$是$M$的所有一一变换的全体,$\circ$表示变换的乘法,把$(T(M),\circ)$称为$M$的变换群.
  令$M=\{x_1,x_2,...,x_5\}$,用$S_5$表示集合$M$的变换群$S_5$中的一个元素可以表示为:
  

  $$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ i_1 & i_2 & i_3 &i_4 &i_5 \\ \end{pmatrix}$$
  其中$(i_1,i_2,i_3,i_4,i_5)$是$1,2,3,4,5$的一个排列,对于单个元素而言,$\Sigma(j)=i_j$

• 轮换表示法
  这种表示方法过于复杂,我们采用简单的"轮换"表示法:$(i_1~i_2~...~i_n)$表示$i_2$位置上的元素取代$i_1$位置上的元素,$i_3$位置上的元素取代$i_2$位置上的元素...$i_1$位置上的元素取代$i_n$位置上的元素.每一个$i$代表的位置上的数字都移到前面一个位置上去,形成一个轮换.
  例如:$S_3$中$(1~2~3)$把$abc$替换为$bca$.
  注意:所有置换可以表示为一些轮换的乘积,并不是和单独的轮换对应.
  例如:$S_4$中1和2交换,3和4交换要用$(1~2)(3~4)$表示.

• 轮换的乘法
  $(i_1i_2...i_t)=(i_1i_2)(i_1i_3)...(i_1i_t)$
  从后往前运算:比如$(123)=(12)(13)$就是先把1和3换,再把1和2换
  进一步有$(i_1i_2...i_t)=(1i_t)(1i_1)...(1i_t)$,所以(1,i)是置换群的生成元集.注意此时$i_1...i_t$中不能有1.

三个元素的集合的变换群 $S_3=\{(1),(1~2),(1~3),(2~3),(1~2~3),(1~3~2)\}$
三个元素的集合的交代群(所有偶置换组成的群) $A_3=\{(1),(1~2~3),(1~3~2)\}$

群论基础

$\color{blue}{证明含单位元的半群中,任何一个元素的左逆元.必定是这个元素的右逆元,而且每个元素的逆元唯一.}$
证明:设$a$左逆元是$x_1$,$x_1$的左逆元是$x_2$,则有$x_1a=x_2x_1=e$
那么有$ax_1=eax_1=x_2x_1ax_1=x_2x_1=e$所以$x_1$是$a$右逆元,即是逆元.