环的概念

抽象代数

环的定义

$R$是一个非空集合,其上有两个运算:$+$和 $\cdot$(加法和乘法),满足以下三个条件:
1. $(R,+)$是Abel群.
2. $(R,\cdot)$是半群(封闭,满足结合律).
3. 乘法对加法的分配律成立.

• 如果$(R,\dot)$有恒等元$e$,称$R$是一个有单位元$e$的环.
• 如果$R$满足乘法交换律,则称$R$是一个交换环.
• 设$F$是一个有$e$的交换环.如果对$F$中任意非零元$a$,关于乘法有逆元,即存在$a^{-1}\in F$使$aa^{-1}=e$,则称$F$为一个域.

例子

• 平凡的环
  
  • $(\mathbb{R},+,\times)$
  • $(\mathbb{Z},+,\times)$整数环
  • $(\mathbb{P}[x],+,\times)$数域$\mathbb{P}$上多项式环
  • $(\mathbb{P}_{n*n},+,\times)$
• 非平凡的例子
  
  • $(\mathbb{Z}_6,+,\times_6)$
  • $(GL_n(\mathbb{R}),+,\times)$n阶可逆阵对于矩阵加法乘法不是环,因为对于矩阵加法不是群

子环

定义

$R$是一个环,$A$是$R$非空子集.
1. $A$是$(R,+)$子群.
2. $A$关于乘法封闭.
称$A$为$R$一个子环.

例子

• 求$\mathbb{Z}_6$子环.
  考察$\mathbb{Z}_6$的子群,有$\{\overline 0\},\mathbb{Z}_6$两个平凡子群,对应两个平凡子环.还有$\{\overline{0},\overline{3}\}和\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$两个非平凡子群,验证乘法封闭后得到两个非平凡子环.
• $\mathbb{Z}$的所有子环为$k\mathbb{Z}$.
• $(\mathbb{P}[x],+,\times)$数域$\mathbb{P}$上多项式环的所有子环为$(g(x)\mathbb{P}[x],+,\times)$.从中可以看出整数与多项式之间有着类比关系.

生成子环

定义

$R$是环.$S$是$R$非空子集,若$R_0=<S>\subseteq R$,则称$R_0$是由$S$生成的子环.

例子

• $\mathbb{Z}$=$<1>$
• $\mathbb{Z[x]}$=$<1,x>$
• $\mathbb{C}$=$<\mathbb{R},i>$
• $\mathbb{R}[x,y]=<\mathbb{R},x,y>$