合同划分与商群

抽象代数

从划分定义商群

• 等价关系
  称集$M$上的关系$\phi$,如果满足自反律,对称律,传递律,称$\phi$为一个等价关系.
• 合同关系
  集$M$的上的合同关系$\phi$,如果满足$\forall x,y,u,v\in G$,若$x\phi y及u\phi v$,则$(xu)\phi(yv)$,称$\phi$为一个合同关系.
• 合同划分
  设$G$是一个群.$G$的一个划分$\Psi=\{[a]|a\in G\}$称为一个合同划分,如果对$\forall a,b\in G$有$[a]\cdot [b]\subseteq [ab]$.(实际上也有$[ab]\subseteq[a]\cdot [b]$)
• 商群
  设$G$是一个群,$\phi$是群$G$的一个合同关系,而$\Psi=\{[a]|a\in G\}$是与$\phi$相应的合同划分.我们把这些$G$的子集看成元素,并规定$[a]\times [b]=[ab]$,可证($\Psi,\times$)构成一个群,称为$G$的(由合同划分$\Psi$,或有合同关系$\phi$确定的)一个商群.

命题

合同关系与合同划分可以互推.也就是说,给定集合$G$的一个合同关系,可以确定一个合同划分,另一方面,由一个合同划分,可以构造一个合同关系.具体见<刘>p32.

从陪集定义商群

参考资料 : 维基百科
- 陪集:设$H$是群$G$的子群,称$aH(Ha)$为子群H的左(右)陪集.而称$\{aH|a\in G\}$为子群$H$的左陪集系.
注记:此时$\Psi=\{aH|a\in G\}$是集$G$的一个划分.当$H$是$G$正规子群时,$\Psi$是群$G$的合同划分.

在數學中，給定一個群G和G的正規子群N，G在N上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G mod N（mod是模的簡寫）。如果N不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間。

例子