单群

抽象代数

定义

一个群叫做单群,如果它不是恒等元群(一个元素的群)且没有非平凡的正规子群.
也就是说,单群$G$的正规子群只能是$\{e\}和G$.
另一方面,我们任取一个有限群$G$,取其阶最大的一个正规子群$H$,可知$G/H$为单群(构造$G$到$G/H$的映射,$G$中没有包含$H$的正规子群,由第二同态定理,可知$G/H$为单群)
我们可以把单群看做"素数",有限单群在有限群类中起到"基本构件"的作用.

命题

• 一个(有限或无限)群$G$没有非平凡子群当且仅当$G$是恒等元群或同构与$\mathbb{Z_p}$,p是一个素数.
  证明:如果$G$中有非单位元元素$a$,考虑子群$<a>$,由假设$G$无非平凡子群可知$G=<a>$,再由关于循环群的结果可知命题成立.
• 一个交换群$G$是单群当且仅当$G\simeq \mathbb{Z_p}$,p是素数.

寻找所有非交换群的有限单群,并进行完全分类,是20世纪数学巨大成果之一.

例题

证明$A_5$的单性,$A_n$是$S_n$中偶置换(偶数个对换的乘积)的全体构成的一个$\frac{n!}{2}$阶的子群.