复变函数的积分

复变函数

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复变函数积分的定义（曲线积分,p95）

把曲线C（分段光滑可求长）分成n段,在每一段的弧线上任取一点$\zeta_i$,作成合数

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}{f(\zeta_k)\Delta z_k}$$ 当分点无限增加,如果合数$S_n$极限存在,则称$f(z)$沿曲线C可积. 表示为 $$\int_Cf(z)dz=J.$$

与二次曲线积分的转化

若$f(z)$沿着曲线C连续,利用$dz=dx+idy$与$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$相乘,就有

$$\int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy$$

参数方程法与变量代换公式(p98)

设有光滑曲线C:$z=z(t)=x(t)+iy(t)(\alpha \leq t \leq \beta)$由上一个公式,我们有

$$\int_Cf(z)dz =\int_\alpha^\beta [u(t)x'(t)-v(t)y'(t)]dt+i\int_\alpha^\beta[u(t)y'(t)+v(t)x'(t)]dt$$
即$\int_cf(z)dz=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z'(t)dt$(计算时通常实部虚部分开考虑)

简单性质(p99)

• 线性性质
• 模长不等式
• 曲线可以分成两段分别算
• 曲线方向相反,符号取反

柯西积分定理

维基百科

柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.

设函数$f(z)$在z平面上的单连通区域$D$内解析,$C$为$D$内任意一条周线,则$\int_c f(z)dz=0$.
- 黎曼证明(p102),多添加了导函数连续的条件,利用格林定理证明
- 古尔萨证明(p104)
推论:C为周线可以改成C为任一闭曲线(不必是简单的)

柯西积分定理的推广

1. 设$C$是一条周线,$D$为$C$内部,函数$f(z)$在闭域$\overline D=D+C$上解析,则$\int_Cf(z)dz=0$.

这与柯西积分定理是等价的,虽然看上去更强.但在周线上解析就可以确保在周线外有一圈解析(在某一点解析一定在它的周围也解析,换句话说解析的区域一定是开域)
2. 设$C$是一条周线,$D$为$C$内部,函数$f(z)$在$D$内解析,在闭域$\overline D=D+C$上连续(注意是"连续到$C$,而不是单纯仅在$C$上连续"),则$\int_Cf(z)dz=0$.
证明采用从内部逼近的想法,过于复杂,此处略去.

柯西积分公式