有限群

抽象代数

定义

设$H$是$G$子群,$H$的不同左陪集的个数为$t$,我们称$t$为子群$H$在$G$中的指数,记为$[G:H]$.
什么时候存在陪集分解?只要$H$是$G$子群即可.

Lagrange定理

$G$是有限群,$H$是$G$子群,则$|G|=|H|[G:H]$.
有限群$G$的阶$=$子群$H$的阶$\times$子群$H$的指数(不同左陪集个数).
证明思路:利用陪集分解,比如$H$一共有$t$个左陪集$H_1,...,H_t$,可以证明这些左陪集两两之间没有交集且元素个数相等,得证.

一些推论

• 有限群$G$的元素$a$的阶必定整除$|G|=n$.(元素$a$的阶也是循环子群$<a>$的阶)
• 由上一条推论可知 : $a^n=e$
• 若$H$是$G$的正规子群,则商群$G/H$的阶为$[G:H]$,满足$|G/H||H|=|G|$
• 若$|G|$是素数,则$G$是循环群,除了单位元,其他元素都是生成元.

Lagrange逆问题(李p43)

任给$n$的因数$m$,在$G$中存在阶为$m$的元素$a$吗?或者退一步,存在阶为m的子群$H$吗?
1) 对于循环群$<a>$,构造子群$<a^{\frac{n}{m}}>$可知这个结论是对的.
2) 对于有限交换群$G$,其阶$n=pm$,其中$p$为素数,则在$G$中存在阶为$p$的元素.
证:对$m$归纳,当$m=1$时,结论显然成立.设$m>1$,记$H=<a>$.若$p||H|$,由于$H$是有限循环群,其中肯定存在阶为$p$的元素.若$p\nmid |H|$,记$\overline G=G/H$为$G$的商群.则$|\overline{G}|=pm'$其中$1\leq m'<m$.由归纳假设知存在
3) 对于有限交换群$G$,任给其阶$n$的因数$m$,在$G$中存在阶为$m$的子群.
证:由结论2)