同构与同态

抽象代数

定义

$同构 = 一一对应+保运算, 同态=保运算$
当$\phi$是群$G$到群$H$的一个同态时,令$Im\phi={\phi(g),g\in G}$,称之为$\phi$的像,或是群$G$的同态像,显然$Im\phi \subseteq H$.令$Ker \phi=\{x\in G|\phi(x)=e,e是H的恒等元\}$称之为$\Phi$的核.

Cayley定理（唐p28）

维基百科

任意一个群都与自身(作为集合)上的一个变换群同构

自身上的一个变换是指从$G$到$G$的一个双射函数,例如$G={1,2,3}$,$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$,那么这个恒等映射$f$就是$G$自身上的一个变换.这种变换非常多，我们只要考虑其中的一部分
在证明中,构造变换$\alpha_g:G\to G,a\to ga$,集合$G'=\{\alpha_g|g\in G\}$,可以证明$G'$关于变换的乘法构成一个群,且与$G$自身同构.
推论:任意一个有限群都与一个置换群同构.

同态的像与核

定义

当$\phi$是群$G$到群$H$的一个同态时,
令$Im\phi={\phi(g),g\in G}$,称之为$\phi$的像,或是群$G$的同态像,显然$Im\phi \subseteq H$.
令$Ker \phi=\{x\in G|\phi(x)=e,e是H的恒等元\}$, 称之为$\Phi$的核.

性质

设$\phi$是群$G$到群$H$的一个同态,则有:
1) $Im\phi$是群$H$的子群.(依次证明运算封闭,有逆元)
2) $Ker\phi$是群$G$的正规子群.(先证明是子群,然后利用$aga^{-1}\in ker\phi$来证明)

示意图

群的第一同态定理(刘p40)

1) 若群$H$是群$G$的正规子群,则$\phi: G\to G/H (g\to gH)$是群$G$到商群$G/H$的满同态.(依次验证满射\保运算)
2) 设$\phi$是群$G$到群$\overline G = Im\phi$的满同态,而$H=Ker\phi$,则$G/H \simeq \overline G$
证明: 构造映射$\theta: G/H\to \overline G(gH\to \phi(g))$.首先验证$\theta$是一个映射,再证明是单的,最后证明它保持运算.

定理的意义: 群$G$的同态像$\overline G$可以看出$G$的一个"粗略模型",忽略了群中某些元素的差异同时保运算关系.(例如.$G$是交换群,$\overline G$一定也是)
定理表明,群$G$所有可能的"粗略模型"就是它的所有商群.

群的第二同态定理(刘p41)

不作要求.

例题

1. 同构有传递性,互反性.
2. 同构把单位元映到单位元.
3. $f$是同构映射,$a$与$f(a)$有相同的阶.
4. (唐p33.8)做$G$到$G'/H'$的映射$g,$满足$\forall a \in G,~ g(a)=f(a)H'$,可证$g$是同态映射并且是满射.(保运算:$g(ab)=f(ab)H'=f(a)f(b)H'=f(a)f(b)H'H'=f(a)H'f(b)H'=g(a)g(b)$.