第六次作业

习题2.9

作者：钟惠舟 学号：2013301020058 班级：物基一班

一.背景

　　关于抛体运动，我们知道在相同初速度的情况，并且不考虑空气阻力时，不同的发射角度会有不同的水平射程。本次作业讨论无阻力情况、有阻力情况和空气阻力随物理高度变化即空气密度变化时水平射程和发射角度的关系。本次作业讨论忽略柯氏力的影响。最后研究了辅助精确打击系统，即给定空中一高度点，在一定发射速度下精确打击的最小发射角。

二.正文

1. 无空气阻力与有空气阻力（不考虑随高度变化）的对比
   　无空气阻力时： $$\frac{dx}{dt}=v_x$$ $$\frac{dv_x}{dt}=0$$ $$\frac{dy}{dt}=v_y$$ $$\frac{dv_y}{dt}=-g$$
   由欧拉法我们有 $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t$$
   有空气阻力时 $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{B_2vv_{x,i}}{m}\Delta t$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t-\frac{B_2vv_{y,i}}{m}\Delta t$$
   当水平初始速度与垂直初始速度均为700$m/s$，$\frac{B_2}{m}$=4×$10^{-5}m^{-1}$,我们得到在两种情况下，不同发射角度时炮弹的水平射程：
   
   由上图可见，空气阻力对炮弹的水平射程影响极大。并且可以看出最大水平射程时的发射角度在$45^{\circ}$左右。我们在30-60°之间以1°为间隔扫描，得到发射角度和水平射程的距离之间关系如图：
   不考虑空气阻力：
   
   考虑空气阻力：
   
   可以看出，不考虑空气阻力时发射角为$45^{\circ}$时水平射程最大，考虑空气阻力时发射角为$36^{\circ}$时水平射程最大。
2. 空气阻力随高度变化
   考虑绝热近似：
   　空气密度随高度变化 $$\rho=\rho_0(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha$$ 式中$a\approx6.5×10^{-3}K/m$，$\alpha\approx2.5$。
   于是空气阻力 $$F{^*_{drag}}=\frac{\rho}{\rho_0}F_{drag}(y=0)$$
   欧拉法公式变成 $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t$$ $$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{B_2{\rho}vv_{x,i}}{\rho_0m}\Delta t$$ $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t$$ $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t-\frac{B_2{\rho}vv_{y,i}}{\rho_0m}\Delta t$$
   同样取$v_{x0}=v_{y0}=700m/s$，$\frac{B_2}{m}$=4×$10^{-5}m^{-1}$，得到炮弹轨迹图：
   
   可见考虑绝热近似时炮弹的水平射程比不考虑空气阻力随高度变化时要远。
   同样在30-60°之间以1°为间隔扫描，得到发射角度和水平射程的距离之间关系如图：
   
   可以看出在$46^{\circ}$时水平射程最远。

结论

由以上讨论我们可以看出空气阻力对炮弹的水平射程有很大影响。一定初速度时，无阻力、恒阻力及阻力随高度变化三种情况下炮弹的水平射程大小情况为：无阻力>阻力随高度变化>恒阻力。

致谢

本次作业参考了郭帅斐同学与丁冬冬同学的作业，在此表示感谢！

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