第十二次作业

作者：钟惠舟 班级：物基一班 学号：2013301020058

背景

　　本次作业探讨太阳、地球及木星组成的三体问题，观察木星质量的变化对地球运动轨迹的影响。
　　相比较太阳与地球的两体运动，对于三体运动我们需要考虑木星对地球及太阳的影响。假设三者处在同一平面x-y平面，我们利用牛顿万有引力定律即第二定律可以得到三者的运动方程：

$$\frac{d^2 \vec{r_E}}{dt^2}=-\frac{GM_S}{r_{ES}^3} \vec{r_{ES}}-\frac{GM_J}{r_{EJ}^3} \vec{r_{EJ}}$$ $$\frac{d^2 \vec{r_J}}{dt^2}=-\frac{GM_S}{r_{JS}^3} \vec{r_{JS}}-\frac{GM_E}{r_{JE}^3} \vec{r_{JE}}$$ $$\frac{d^2 \vec{r_S}}{dt^2}=-\frac{GM_E}{r_{SE}^3} \vec{r_{SE}}-\frac{GM_J}{r_{SJ}^3} \vec{r_{SJ}}$$
　　利用欧拉-克拉默法可以得到三者的运动轨迹。

正文

　　查找资料可知太阳质量$M_S=1.989 \times 10^{30}kg$，地球质量$M_E=6.0 \times 10^{24}kg$，木星质量$M_J=1.9 \times 10^{27}kg$。
　　1. 此时三者运动轨迹为：
　　
　　在此基础上增加时间轴画出三维图：
　　可见此时太阳保持不动，木星与地球绕太阳做圆周运动，三者保持稳定运动状态。这是由于太阳的质量相对其余二者而言相当大，木星对地球的影响可以忽略。

　　2. 将木星质量增大至10$M_J$,此时三者运动轨迹为：
　　三维图为：
　　可以看到地球的运动开始受到影响，太阳也不再固定不动，但三者仍能稳定运动。

　　3. 将木星质量增大至100$M_J$,此时三者运动轨迹为：
　　三维图：
　　此时地球运动变得复杂，太阳做圆周运动。

　　4. 将木星质量增大至1000$M_J$,此时三者运动轨迹为：
　　三维图：
　　由于此时木星质量与太阳质量已经相当，可以看到太阳与木星做相互远离的两体运动，而地球绕着太阳运动。

　　5. 我们将木星质量增大至1000$M_J$后，太阳与木星的质量已经相当，我们发现太阳与木星开始做两体运动。我们希望看到二者做稳定的两体运动于是我们减小木星的初速度，得到三者运动轨迹：
　　分别将木星初速度减小至$0.9v_{J0}$,$0.8v_{J0}$,$0.7v_{J0}$,得到三者运动轨迹图：
$0.9v_{J0}$：
　　
　　三维图：
$0.8v_{J0}$：


$0.7v_{J0}$:


可以看到地球的运动变得不可预测，而木星与太阳做稳定的两体运动。

结论

　　本次作业简单探讨了木星质量对太阳、地球及木星的三体运动的影响。

致谢

　　本次作业参考了郭潇同学的作业，在此表示感谢。