第十次作业

作者：钟惠舟 班级：物基一班 学号：2013301020058

背景

　　本次作业探讨了天气现象研究中的洛伦兹模型。
　　E.N.Lorenz在研究流体力学的基本方程,即Navier-Stokes方程时，将其应用到特定的问题中，并将其简化成三个方程：

$$\frac{dx}{dt}=\sigma (y-x)$$ $$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y$$ $$\frac{dz}{dt}=xy-bz$$
其中x,y,z即Navier-Stokes方程中的温度，密度，速度；而r反映由温差带来的驱动效果，b则反应流体阻尼。由于上述方程过于简化，故并不一定得到正确的物理现象，但我们可以通过此简化模型观察到混沌现象。
　　我们将采用欧拉法求解本次问题。

正文

　　Lprenz模型内流体运动显著依赖于驱动r，当改变驱动r的大小时，即可观察到混沌的产生和消失。
　　取$\sigma$=10,b=8/3,初始值x=1，y=z=0，在不同的r值时画出速度z随时间的变化曲线：
　　
可以看到在r值较小时，z出现阻尼衰减的现象，但当r值增大到一定值时出现了复杂的混沌现象。

　　和前面的摆动问题一样，我们可以作出相空间的图形，这样更能揭示混沌现象的内在规律性。
　　我们取r=25,初始值x=1，y=z=0
　　
　　我们还可以作出相空间的截面图：
　　
　　我们可以发现，尽管混沌现象及其复杂，对初始值极其敏感，但其相空间截面却与初始值无关。因此，虽然我们无法预测混沌现象中变量随时间的变化，但我们可以预测其相空间的截面图。
　　
　　当我们将r值继续增大到160附近：
　　
　　可以看到在r=160时，系统在一段时间后做周期性运动，但当其继续增大至r=163.8时，系统几乎是周期的，但间歇性夹杂着混沌现象。

总结

　　Lorenz模型随着r的增加，伴随着混沌现象的产生与消失。

致谢

　　感谢陈洋遥大神。