第十一次作业

作者：钟惠舟 班级：物基一班 ：学号：2013301020058

背景

　　本次作业研究太阳系中行星运动问题。相比于地球上的物体运动受到显著的空气阻力影响，行星运动是良好的物理观测场所。17世纪开普勒发现行星运动三大定律，而后牛顿又成功地用万有引力定律解释了开普勒定律，行星运动的研究推动了物理学的发展。
　　在太阳系中，由于太阳的质量比行星的质量大得多，因此可以把太阳看做不动而行星绕其运动。根据牛顿万有引力定律，行星受到太阳的引力为：

$$F_G=\frac{GM_S M_E}{r^2}$$
式中$M_S$，$M_E$分别为太阳和地球半径，r为他们之间距离。
又由牛顿第二定律： $$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F_{G,x}}{M_E}$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{F_{G,y}}{M_E}$$
式中$F_{G,x}=-\frac{GM_S M_E}{r^2}cos\theta=-\frac{GM_S M_Ex}{r^3}$,同理可得$F_{G,y}$。
　　当考虑两者质量相当时，则行星与太阳二体问题也容易解决，只需要把惯性质量$M_E$全部换成所谓的约化质量$\mu=M_SM_E/(M_S+M_E)$，则仍可形式上地利用牛顿第二定律解决行星相对太阳的运动问题。
　　约化质量$\mu$的轨迹由方程 $$\frac{d^2}{d\theta^2}(\frac{1}{r})+\frac{1}{r}=-\frac{\mu r^2}{L^2}F(r)$$
　　式中$L=\mu r^2 \theta$为角动量，$F(r)=-GM_S M_E/r^2$.求解方程并取$\theta_0=0$,得 $$r=(\frac{L^2}{\mu GM_S M_E})\frac{1}{1-ecos\theta}$$
　　由上式知当e=0时轨道是圆，当$0\leq e <1$时是椭圆，当e=1时是抛物线，当e>1时是双曲线。
　　由这样的轨道方程就可以给出开普勒的三大定律。需要注意的是，开普勒三定律是牛顿引力理论即平方反比引力的结果，若力不是平方反比的，则开普勒定律就不成立，行星也一般不存在闭合轨道。

正文

1. 两体问题
   　　两体问题可以简化为单星运动，假设两星的质量比为$M_1/M_2=2$,以不同的初始速度运动，得到运动轨迹图：
   
   左图显示初始条件合适时，双星轨道为圆形，右图显示初始条件偏离成圆条件时，双星轨道为椭圆。
2. 引力不是平方反比的情况
   　　如果星体之间的引力不是平方反比，即$F(r)=-GM_S M_E/r^{\beta}$,$\beta \neq 2$,行星一般会发生进动。
   
3. 离心率对进动运动的影响
   　　假设$\beta=2.05$,并假设中心天体不动，我们改变离心率的值，观察进动现象的变化
   
   　　左上展示了初始条件合适时，行星仍然能够保持圆轨道运动，此时不发生进动。而右上图及左下图则展示了行星轨道偏离圆周运动时，轨道将不是闭合的椭圆，而是将不断进动，且离心率越大时，进动越明显。右下图给出了进动速率随离心率变化的规律。

结论

　　本次作业探讨了两体的行星运动，并研究了引力不是平方反比时行星出现的进动现象。

致谢

　　本次作业参考了陈洋遥同学及郭潇同学的作业，在此表示感谢。