计算物理第十三次作业

计算物理

---

摘要

　　本次作业将分析和研究波动的相关问题，并对习题6.9及6.16进行探究

背景

　　波动，作为我们身边最易接触到的物理现象之一，无论是声音的传播以及多普勒效应，亦或是吉他、钢琴等乐器的演奏，甚至位列科技最前沿的引力波，可谓无处不在。
　　
　　
　　
　　
　　对于波动的了解告诉我们，它的运动方程为

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

　　
　　根据图中弦的受力，
$$(\mu\Delta x)\frac{\partial^2y_i}{\partial t^2}=Tsin\theta_{i+1}-Tsin\theta_{i}$$
又有近似可取 $sin\theta_{i}\approx\frac{y_i-y_{i-1}}{\Delta x}$,可得
$$\frac{\partial^2y_i}{\partial t^2}\approx\frac{T}{\mu}\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{(\Delta x ^2)}\approx(\frac{T}{\rho})\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$$
　　为了便于求得数值解，我们做以下近似$x=i\Delta x$及$t=n\Delta t$，则$y(i,n)\equiv y(x=i\Delta x,t=n\Delta t)$ 可得到：
$$\begin{eqnarray*} \frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta t)^2}\approx c^2[\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta x)^2}]\\ y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i.n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)] \end{eqnarray*}$$

正文

绘制波动图像的程序：代码1

结论

1. 波动的图像

1.1 基本图像

我们发现在边界处存在半波损失现象

1.2 改变k的值
我们可以改变初始条件研究各参数对图像的影响，图一展示了k=1000时的图像，若令t=100

2. 波的频谱

2.1 弦上某点振幅随时间变化

改变点的位置

2.2 功率谱

2.3 对比图

3. 实际情况下弦的振动情况

4. 对程序的进一步改良

通过和张梓桐同学的交流，可以采用另一种方式来绘制图像，即动图，所做关于弦振动的模型如下：

这样在视觉上会更加直观

进一步的，我们尝试用Vpython展示这个过程：

致谢

张梓桐同学、上官俊怡学姐
Wikipedia