[关闭]
@fanxy 2020-04-05T05:01:27.000000Z 字数 6794 阅读 4065

第六讲 计量回归基础与应用(I)

樊潇彦 复旦大学经济学院 金融数据


[TOC]
Ch06_Data.RData153.4kB

  1. setwd("D:\\...\\Ch06")
  2. rm(list=ls())
  3. install.packages(c("sandwich","lmtest")) # OLS检验
  4. install.packages(c("gvlma","car")) # 异方差和自相关残差调整
  5. load("Ch06_Data.RData")

1. 计量回归模型分类

2. 线性与非线性回归

2.1 古典线性回归模型:OLS估计


1. 模型假定
(1) 自变量 与因变量 之间存在线性关系:


(2) 给定数据样本, 维矩阵 满秩:

(3) 随机误差与 相互独立且期望为零:

(4) 随机误差之间相互独立(),且服从同样的正态分布(),用矩阵形式表示如下(其中 维单位方阵):

2. 普通最小二乘(OLS)估计

3. OLS估计量的性质

4. 程序实现

  1. head(olsdata)
  2. x=as.matrix(olsdata[,2:4])
  3. y=as.matrix(olsdata$y)
  4. beta_bar=solve(t(x)%*%x)%*%t(x)%*%y # 线性最小二乘估计
  5. myOLS=lm(y~x1+x2, data=olsdata) # OLS 回归
  6. summary(myOLS) # 报告OLS回归结果
  7. round(data.frame(betaOLS=myOLS$coefficients, beta=beta_bar),3) # 结果比较

如果某个解释变量是离散变量(如年龄组),想把它设为哑变量,就用factor()。此外Kabacoff(2013)列出了 lm() 的其他常用设定,可以用来在解释变量中加入二次项、交互项,以及去掉某些解释变量:

5. 回归诊断
所谓回归诊断,就是判断回归模型是否符合古典线性回归的各项假定。用 gvlma 包中的 gvlma() 函数可以对模型假定进行综合检验,另外car包则提供了对多重共线性vif()、残差自相关durbinWatsonTest()和异方差ncvTest()等问题的检验命令。

  1. library(gvlma)
  2. gvlma(myOLS) # 模型假定是否可接受
  3. library(car)
  4. vif(myOLS)>4 # 检验多重共线性问题
  5. durbinWatsonTest(myOLS) # 检验残差自相关问题
  6. ncvTest(myOLS) # 检验异方差问题

当古典线性回归模型的假定不成立时,需要改进估计方法。当假定(3)不成立,解释变量存在内生性问题时,可以通过寻找工具变量的方法解决。由于这种情况在金融数据分析中并不多见,因此不再赘述,下面我们依次介绍违反同方差假定(4)、解释变量线性无性假定(2),以及线性方程关系假定(1)时的处理方法。

2.2 存在异方差和残差自相关时的拓展:GLS估计

古典线性回归模型的假定(4)不成立,存在异方差和残差自相关问题,将影响参数估计的有效性,使置信区间估计和统计检验有误:


广义最小二乘(Generalized least squares, GLS)估计:

由于我们不可能根据 个样本估计出对称矩阵 中的 个元素,因此在实际应用中,一般先做OLS估计,再根据方差检验结果对 的具体形式做简化假定(如只考虑异方差、自相关,或直接假定 的函数形式),最后用简化的 作为 的一致估计,得到FGLS(Feasible GLS)估计量。
以前面对olsdatamyOLS估计为例,检验结果表明在8%的显著性水平上存在异方差问题,这种情况下对 的估计无偏,但不再有效,因此要对估计出的参数标准差做相应调整:

  1. library(sandwich)
  2. sd=sqrt(diag(vcov(myOLS)))
  3. sd_adjust=sqrt(diag(vcovHC(myOLS))) # 如果不仅有异方差,还有残差的自相关,用 vcovHAC() 代替
  4. round(data.frame(sd, sd_adjust),3) # 比较 beta 的标准差
  5. library(lmtest)
  6. coeftest(myOLS,vcov=vcovHC) # 报告调整标准差后的结果

2.3 多重共线性与模型选择

如果解释变量很多,就很容易出现变量之间存在共线性,或者有的回归系数不显著的情况,此时我们需要对解释变量做出取舍,以决定最终的回归方程,这就是模型选择问题。具体可以通过anova()AIC()命令来实现:

  1. ols1=lm(y~x1+x2, data=olsdata) # 两个待比较的模型
  2. ols2=lm(y~x1, data=olsdata)
  3. anova(ols1,ols2) # 两个模型是否显著不同
  4. AIC(ols1,ols2) # 两个模型的AIC值,选择AIC较小的模型

2.4 非线性回归模型:NLS估计

放弃古典线性回归模型的假定(1),允许自变量和因变量之间存在非线性关系:


如经济学问题中的CES生产函数估计等。相应的非线性最小二乘(NLS)估计为:

假定待估方程为:

  1. nls.sol<-nls(Y~a+(0.49-a)*exp(-b*(X-8)), # 设定方程
  2. start = list( a= 0.1, b = 0.01 ), # 参数初始值
  3. data=nlsdata) # 数据
  4. summary(nls.sol) # 报告NLS回归结果

3. 应用:检验CAPM模型

  1. # 1. 加载数据
  2. class(casestudy1.data0.00)
  3. head(casestudy1.data0.00)
  4. time=index(casestudy1.data0.00, format ='%Y-%m-%d')
  5. data=data.frame(time,coredata(casestudy1.data0.00))
  6. names(data)
  7. # 2. 选取部分数据作图
  8. # GE | GE stock
  9. # SP500 | S&P500 Index
  10. # DGS3MO | 3-Month Treasury, constant maturity rate
  11. # DGS1 | 1-Year Treasury, constant maturity rate
  12. # DGS5 | 5-Year Treasury, constant maturity rate
  13. # DGS10 | 10-Year Treasury, constant maturity rate#
  14. # DAAA | Moody's Seasoned Aaa Corporate Bond Yield
  15. # DBAA | Moody's Seasoned Baa Corporate Bond Yield #
  16. # DCOILWTICO | Crude Oil Prices: West Text Intermediate (WTI) - Cushing, Oklahoma
  17. ## GE、SP500和油价
  18. stockdata=data[,c("GE","SP500","DCOILWTICO")]
  19. mapstock=scale(stockdata,center=T) # Scaling and Centering of Matrix-like Objects
  20. mapstock=data.frame(time, mapstock)%>%
  21. gather(stock, p, -time)
  22. Lehman=min(which(mapstock$time ==as.Date("2008/9/15",tz="CST")))
  23. ggplot(mapstock,aes(x=time, y=p, color=stock)) +
  24. geom_line() +
  25. geom_vline(aes(xintercept = as.numeric(time[Lehman]))) +
  26. theme_bw()
  27. ## 3个月、1年、5年、10年期国债,及AAA和BAA企业债
  28. bonddata=data[,c(1,7:12)]
  29. mapbond=gather(bonddata, bond, r, -time)
  30. ggplot(mapbond,aes(x=time, y=r, color=bond)) +
  31. geom_line() +
  32. geom_vline(aes(xintercept = as.numeric(time[Lehman]))) +
  33. theme_bw()


  1. # 3. 计算指标
  2. # (1)日收益率
  3. r=diff(log(casestudy1.data0.00[,c("GE","SP500","DCOILWTICO")]))
  4. time=index(r)
  5. r=data.frame(time,coredata(r))
  6. # 注意:计算无风险债券的日收益率,需要将年化收益率转化为按360个交易日计算的日收益率
  7. rf<-log(1 + .01*coredata(casestudy1.data0.00[-1,"DGS3MO"]) *
  8. diff(as.numeric(time(casestudy1.data0.00)))/360)
  9. dimnames(rf)[[2]]="rf"
  10. # (2) 计算超额收益并作图
  11. erGE=r$GE-rf
  12. dimnames(erGE)[[2]]="erGE"
  13. erSP500=r$SP500 - rf
  14. dimnames(erSP500)[[2]]="erSP500"
  15. erOIL=r$DCOILWTICO - rf
  16. dimnames(erOIL)[[2]]="erOIL"
  17. capmdata<-data.frame(time, erGE, erSP500, erOIL)
  18. dim(capmdata)
  19. ggplot(capmdata,aes(x=erSP500,y=erGE,color=time)) +
  20. geom_smooth(method="lm") +
  21. geom_point() + geom_vline(xintercept = 0) + geom_hline(yintercept = 0) +
  22. theme_bw()

  1. # (3) OLS回归检验CAPM模型
  2. lmfit0<-lm(erGE ~ erSP500, data=capmdata) # 回归结果存为 lmfit0 对象
  3. names(lmfit0) # 查看对象中的内容
  4. summary(lmfit0)
  5. lmfit1<-lm( erGE ~ erSP500 + erOIL, data=capmdata) # 用油价做为宏观因子
  6. summary.lm(lmfit1)

课后练习

  1. 将企业债也视为一种风险资产,用1年期国债作为债券市场指数,计算两种企业债(AAA和BAA)的 系数,并检验CAPM模型。

  2. 先用下面的命令将日数据转换为月度数据,再用GE数据检验CAPM模型

  1. library(xts)
  2. data.monthly <- casestudy1.data0.00[endpoints(casestudy1.data0.00, on="months", k=1), ]
  3. time.monthly=format(index(data.monthly),'%Y%m')
  4. data.monthly=data.frame(time=time.monthly,coredata(data.monthly))
  5. head(data.monthly)

参考资料

  1. MIT Open Course Topics in Mathematics with Applications in Finance (18.S096), Case studies 1
  2. Kleiber, C. and A. Zeileis 2008: Applied Econometrics with R (Use R!), Springer
  3. R.I. Kabacoff著:《R语言实战(第2版)》,王小宁、刘撷芯、黄俊文译,人民邮电出版社,2016
  4. 薛毅、陈立萍编著,2012:《统计建模与R软件》,清华大学出版社
添加新批注
在作者公开此批注前,只有你和作者可见。
回复批注