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@yangfch3 2016-01-20T04:54:44.000000Z 字数 4733 阅读 3002

线性代数

化学


行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等.

性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.
推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如:

则D等于下列两个行列式之和:

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.

二阶、三阶行列式的运算

对角线法则:主对角线-副对角线

高阶行列式运算

  1. 定义法求解
    行列式有多少项:全排列
    每一项前面的正负号:逆序数(某个数的前面比它大的数的个数)
              偶排列(+) 基排列(-)
              对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.

  2. 变换法求解:三角型行列式
    线

  3. 展开法求解:代数余子式
    余子式 在n阶行列式中,把元素所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式,记作.
    代数余子式 

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

引理 一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即

线性方程组求解

  1. 线性方程组解的判据
    线线ÛÛ
    (其中,A为系数矩阵,B为增广矩阵,R为矩阵的秩,n为未知数的个数)

  2. 消元法

  3. 克莱姆法则

   

  

    

矩阵的运算

逆矩阵

  1. 逆矩阵的性质

  2. 利用代数余子式求逆阵

  3. 待定系数法求逆阵
  4. 消元法求逆阵
    • 求方程
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    • 求逆阵
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  5. 初等变换法

矩阵的初等变换

  1. 定义
    • 对调两行(列);
    • 以数乘某一行(列)的所有元素;
    • 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去.
  2. 初等矩阵
    由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.

  3. 初等变换
    例如:

    其中都称为行阶梯形矩阵

    • 可划出一条阶梯线,线的下方全为零;
    • 每个台阶只有一行,台阶数是非零行数;
    • 对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换得到行阶梯形和行最简形.
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      还称为行最简形矩阵,非零行的第一个非零元为1.
      再经过列变换得到称为标准形.
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矩阵的秩

矩阵中不为零的子式的最大阶数,叫做的秩。

  1. 秩的用处:

    • 向量的线性相关性-哪些向量相互表示;
    • 方程组解的形式-多少个通解;
    • 环境中独立的自由变量.
  2. 秩的性质:

矩阵的分块

  1. 定义
    将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

  2. 分块矩阵的运算
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