高等数学服用手册

高等数学

微积分 线性代数 概率论

参考资料：

• 在线绘制函数Desmos

微积分

一、函数 极限与连续

映射与函数

集合 区间 邻域

常用集合：

N：自然数
Z：整数
Q：有理数
R：实数

交集、并集、差集、补集

差集：记做A\B或者A-B
补集/余集：假设给定的全集为I，且$A \subseteq I$，则I-A是A在I中的补集，记做$\complement_A$

直积：
假设有集合A、B，有$A × B = { (x,y) | x \in A, y \in B}$，则称A×B为A和B的直积

开区间与闭区间
开区间如：$x \in (a,b)$
闭区间如：$x \in [a,b]$
半开区间：$x \in (a,b]$

邻域

以x为中心，$\delta(\delta > 0)$为半径的开区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 称为点$x_0$的$\delta$邻域，记做$U(x_0,\delta)$
不说明半径时，简记为$U(x_0)$
将其邻域去掉中心点，记做$U^\circ(x_0,\delta)$，称作点$x_0$的去心$\delta$邻域

映射

定义1：

X、Y为两非空集合，如果按照某法则f，对于集合X中的任一元素x，在集合Y中都有唯一元素y与之对应，则称f为从集合X到集合Y的映射，记作

$$f: X → Y$$
其中，元素y称为元素x在映射f下的像，元素x称为元素x在映射f下的原像/逆像
X称为映射f的定义域，记作$D(f) = X$
Y称为映射f的值域，记作$R(f)$或者$f(X)$

要点：

一个x只能有一个y，一个y能有多个x

满射
定义：所有Y在X都能找到原像的映射f就叫满射

单射
定义：每个Y在X中有唯一的原像的映射f就叫单射

定义2：

如果从集合X到集合Y的映射f，既是满射又是单射，则称f是从X到Y的一一映射

教材p9

函数

定义5：

设X和Y为两个非空实数集，f为X到Y的一个映射，则称f为定义在数集X上的函数，记做

$$y=f(x) , x\in X$$
其中x为自变量，y为因变量，X为f的定义域，记为$D_f$

显函数与隐函数
定义：

显函数：能够由y = f(x)定义的函数
隐函数：能够由F(x,y) = 0定义的函数

函数的运算 反函数

函数的四则运算

(f±g)x = f(x)±g(x)，定义域为$D_f \cap D_g$

具有某种特性的函数

奇函数 偶函数

定义：

奇函数：关于原点对称
偶函数：关于y轴对称
注意！定义域也需要对称才行

单调函数

周期函数

存在常数T≠0，使得f(x+T)=f(x)

注意！并非所有周期函数都一定存在最小正周期，例如：
狄利克雷函数：

$$\begin{equation} y=f(x)=\left\{ \begin{aligned} 1 & 当x为有理数 \\ 0 & 当x为无理数 \end{aligned} \right. \end{equation}$$

有界函数

定义11：

设函数$y = f(x), x \subseteq D_f$，若$\exists M>0$，使$\forall x\in X$，都有|f(x)|≤M，则称f(x)在X上有界，否则称为在X上无界
充要条件：f(x)在X上既有上界也有下界

基本初等函数 初等函数

基本初等函数：

• 常量函数
• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 反三角函数

其中，反三角函数的图像即将三角函数的图像旋转90°即可

初等函数

由基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算得到的，且能用一个解析式表示的函数

双曲函数 反双曲函数

教材p26

• 双曲正弦函数：$y = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
  

• 双曲余弦函数：$y = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
  

• 双曲正切函数：$y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
  

双曲函数的性质：

• $\cosh ^2 x - \sinh ^2 x = 1$
• $1 - \tanh ^2 x = \frac{1}{\cosh ^2 x}$
• $\sinh(x±y) = \sinh x \cosh y ± \cosh x \sinh y$
• $\cosh(x±y) = \cosh x \cosh y ± \sinh x \sinh y$
• $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$
• $\cosh 2x = \cosh ^2 x + \sinh ^2 x$
• $\sinh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x - 1)$
• $\cosh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x + 1)$

假设有双曲线：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
则其左支和右支分别为：
$$左支 = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x = - a \cosh t \\ y = b \sinh t \end{aligned} \right. \end{equation} ,t \in (-\infty , \infty)$$
右支
$$左支 = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x = a \cosh t \\ y = b \sinh t \end{aligned} \right. \end{equation} ,t \in (-\infty , \infty)$$

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极限的概念

定义：

按照某一法则依次排列的无穷多个数，称为一个无穷数列，简称数列
数列也是函数，称为整标函数，定义域是$D_f = \{1,2,...\}$

有界数列：

对于数列$\{ x_n\}$，若$\exists M > 0$，使$\forall n$均有$|x_n| ≤ M$，则称之为有界数列，否则为无界数列

数列极限的概念

定义1：

设有数列$\{x_n\}$及常数A，若对于任意给定的$\epsilon$，总存在正整数N使得对n>N的任何n，以下不等式都成立：

$$|x_n - A| < \epsilon$$
则称当$n → \infty$时，$\{x_n\}$的极限为A，或称之收敛于A
记做 $$\lim_{n \to \infty} x_n = A$$
如果极限不存在，则称数列$\{x_n\}$是收敛的

该定义的几何意义是：

在第N项之后，数列$x_n$的每一项都落在$(A-\epsilon , A + \epsilon)$区间，且$\epsilon$足够小

定义4:

若$\forall \epsilon > 0, \exists X > 0$，使得当$|x| > X$时，有$|f(x) - A| < \epsilon$，则称A为当x趋于无穷大时f(x)的极限，记为：

$$\lim _{x \to \infty} f(x) = A$$

简单解释：
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = A$ 的充要条件是：

$$\lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(X) = A$$

自变量趋于有限值的函数极限

定义5：

设f(X)在$x_0$的某去中心邻域内有定义，A为常数。
如果对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得对满足$0<|x - x_0| < \delta$的一切x，都有$|f(x) - A | < \epsilon$ 成立，则称A为函数f(X)当$x \to x_0$时的极限，记作：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

该定义的几何意义是：

所有的函数值都落在黄色区域

单侧极限

定理1：

极限$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在的充要条件是：左极限$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$和右极限$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$均存在且相等

数列极限与函数极限的关系

定理2：

设f(X)在$x_0$的某个去心邻域$U^\circ (x_0)$内有定义，则$\lim\limits_{x \to x_0} f(X) = A$的充要条件是：
  对任何以$x_0$为极限，且含于此去心邻域的数列$\{x_n\}$都有$\lim\limits_{ n \to \infty} f(x_n) = A$

引申定理：

数列$\{x_n\}$存在的充要条件是：
  其任何子数列的极限存在且相等，即：

$$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \lim_{n \to \infty} x_n$$

无穷小量 无穷大量

无穷小量

定义：

若$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$0 < |x - x_0 | < \delta$时，有:

$$|f(x)| < \epsilon$$
则称f(X)当$x \to x_0$时的无穷小量(无穷小)，记作： $$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$$

无穷大量

定义：

若$\forall M > 0, \exists \delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有：

$$|f(x)| > M$$
则称f(X)当$x \to x_0$时为无穷大量，记作： $$\lim_{x \to \infty} f(x) =\infty$$

无穷小的运算性质

定理2：

若$\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0, \lim\limits_{x \to x_0} \beta(x) = 0$，则：

$$\lim_{x \to x_0}[\alpha(x) \pm \beta(x)] = 0$$

定理3：

若$\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，且f(x)在$x_0$的某去心邻域内有界，则：

$$\lim_{x \to x_0} \alpha (x) f(x) = 0$$

该定理说明：无穷小与有界变量之积为无穷小
推论：
有限个无穷小的积、无穷小与常数的乘积，都是0

注意！必须当自变量变化趋向相同才能运算

函数及其极限与无穷小的关系

定理4：

$\lim\limits_{x \to x_0} f(X) = A$的充要条件是：$f(x) = A + \alpha(x)$，其中A为常数，$\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$

简单解释：
函数的极限等于某个常数的充要条件是：函数等于该常数与某个无穷小之和

极限的性质及运算法则

极限的性质：

• 唯一性：极限存在的话，就只能有一个值【反证法】
• 有界性：若有极限，则函数就有界【对数列证明】
• 局部保号性：极限周围的正负号跟极限值相同

极限存在准则 两个重要极限

夹逼准则

定理1：

若在$x_0$的某个空心领域$U ^\circ (x_0,\delta_0)$内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \lim\limits _{x \to x_0} h(x) = A$，则$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在且等于A

由此可证重要极限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

单调有界准则

定理2：

若数列为单增，且能找到一个数，使得所有数都不超过他，则极限存在
若数列为单减，且能找到一个数，使得所有数都不小于他，则极限存在

由此可证重要极限：

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac1x)^x = e$$

无穷小的比较

定义1：

有$\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0, \lim\limits_{x \to x_0} \beta(x) = 0, \beta(x) \neq 0$

• 如果$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$是$\beta(x)$的高阶无穷小，记作：$\alpha(x) = \omicron (\beta(X)) (x \to x_0)$
• 如果$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0$，则称当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小
• 特别地，如果$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小

常用的等价无穷小：

当$x \to 0$时：
~x组:

$\sin x$
$\tan x$
$\arcsin x$
$\arctan x$
$\ln (1 + x)$
$e^x - 1$

其他组：

• $\sqrt[n]{1 + x} - 1$ ： $\frac xn$
• $1 - \cos x$ ： $\frac 1 2 x^2$
• $\tan x - \sin x$ ： $\frac 1 2 x^3$
• $\log _a(1 + x)$ ：$\frac x {\ln a}$
• $a ^x - 1$ ： $x \ln a$

连续函数

连续性的概念

定义：

设$y = f(x)$在$U(x_0)$有定义，若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数$y = f(x)$在点$x_0$点处连续
用逻辑语言描述：
设$x_0 \in U(x_0) \subset D_f , \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$|x - x_0|< \delta$时，有：

$$|f(x) - f(x_0) | < \epsilon$$
则称函数$y = f(x)$ 在点$x_0$处连续

$f(x)$在$x_0$处连续的充要条件是：函数在$x_0$处左连续且右连续

定义4：

若$f(x)$在开区间(a,b)内每一点都连续，则称$f(x)$在开区间(a,b)连续，记为：$f(x) \in C(a,b)$
同理有：$f(x) \in C[a,b]$

函数的间断点

第一类间断点（跳跃型 & 可去型）

跳跃型间断点定义：

函数f(x)在断点$x_0$的左右极限都存在，但不相等

可去型间断点定义：

函数f(x)在断点$x_0$的左右极限都存在且相等，且在该点有极限值，但极限值≠函数值
可以通过修改在该点的定义，使函数连续

第二类间断点（无穷型 & 振荡型）

定义：

凡是不属于第一类的，都是第二类间断点。
特征是：左右极限至少有一个不存在

无穷型间断点：

左右极限中至少有一个是无穷大（正负无穷大）

震荡型间断点：

左右极限中至少有一个不存在，且在$x = x_0$附近，曲线呈无穷次振荡
例如$f(x) = \sin \frac 1x$在$x = 0$，就是振荡型间断点

连续函数的性质与运算

连续函数的性质

• 局部有界性：函数在该点连续，则总存在该点的某个邻域内函数有界
• 局部保号性：若函数在该点连续，且函数值为正，则总存在该点的某邻域内函数值都为正
• 四则运算性质：若连续函数在同一区间内都有定义，且在同一点连续，则可以进行四则运算

反函数的连续性

定理4：

设$y = f(x)$在[a,b]上单调连续，$\alpha = f(a), \beta = f(b)$，则反函数$y = f^{-1}(x)$在$[\alpha, \beta](或[\beta, \alpha])$上单调连续，且$f^{-1}(x)与f(x)$有相同的单调性

即：反函数单调性和原函数一样

初等函数的连续性

定理7&8：

基本初等函数、初等函数在其定义域内是连续的

闭区间上连续函数的性质

最大值和最小值定理：

若$f(x) \in C[a,b]$，则$f(x)$必在[a,b]上取得最大值和最小值
即：$\exists \xi_1 , \xi_2 \in [a,b]$，使得

$$f (\xi_1) = \max_{x \in [a,b]} f(x) \\ f(\xi_2) = \min_{x \in [a,b]} f(x)$$

换句话说：
函数在一段连续闭区间内，必然有最大值和最小值

有界性定理：

若$f(x) \in C[a,b]$，则$f(x)$在[a,b]上有界
即$\exists M > 0，使 \forall x \in [a,b]，有|f(x)| \leq M$

换句话说：
连续函数在闭区间内必定有界

介值定理：

若$f(x) \in C[a,b]$且$f(a) \neq f(b)$，则$\forall \mu \in (f(a),f(b))（或(f(b),f(a))$，都$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi) = \mu$

换句话说：
连续函数的闭区间内，必定能找到一点函数值在两端点函数值间的点（如下图）

介值定理引申的推论：
推论2（根的存在定理）：

若$f(x) \in C[a,b]$。且$f(a) · f(b) < 0$，则$\exists \xi \in (a,b)，使f(\xi) = 0$
特殊地，当函数为单调函数时，根是唯一的。

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二、一元函数微分学

导数

导数概念

导数：

前提：设$y = f(x)$定义在区间I，其中$x = x_0$点和$x_0 + \Delta x$都$\in I$，（其中$\Delta x$可正可负）。
函数增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
可导：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$存在，即称函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导
记作：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

单侧导数：

当$\Delta x > 0$，则单侧导数为右导数，记为：

$$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + |\Delta x|) - f(x_0)}{|\Delta x|} = f'_{-}(x_0)$$
同理，左导数记为：
$$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0) - f(x_0 - |\Delta x|)}{|\Delta x|} = f'_{+}(x_0)$$

可导的充要条件：

函数$f(x)$在$x = x_0$点的左导数$f'_{+}(x_0)$和右导数$f'_{-}(x_0)$均存在且相等

导数的几何意义

几何意义：

函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数值$f'(x_0)$，就是曲线$y = f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率k
切线方程：

$$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$$
法线方程：
$$y - y_0 = - \frac1{f'(x_0)}(x - x_0)$$

高阶导数的概念

高阶导数：

$$f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 + \Delta x) - f^{n - 1}(x_0)}{\Delta x}$$
其中，$n \geq 2$且为整数，且$f^{(n - 1)}(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，$x_0 + \Delta x$也在该邻域内

微分

微分的概念

微分定义：

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，则$x_0 + \Delta x$在该邻域内，对于$\Delta y$有：

$$\Delta y = f(x_9 + \Delta x) - f(x_0)$$
若存在与$\Delta x$无关的常数A，使得： $$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$$
便称$f(x)$在$x = x_0$处可微。
其中，$o(\Delta x)$是在$\Delta x \to 0$时比$\Delta x$更高阶的无穷小
记作： $$dy \bigg |_{x = x_0} = A \Delta x$$
又因为$\Delta x = dx$，所以也记作： $$dy \bigg |_{x = x_0} = A dx$$

可微的判别：

本质：就是要判断$o(\Delta x)$是不是高阶无穷小，即是不是可忽略的
判别方法：

1. 写出增量$\Delta y$：$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
2. 写出线性增量$A\Delta x$：$A \Delta x = f'(x_0) \Delta x$
3. 求两增量的误差： $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x}$$
   如果该极限等于0，则可微，否则不可微

计算题

复合函数的导数

计算方法：

设$u =g(x)$在点x处可导，$y = f(u)$在点$u = g(x)$处可导，则：

$$\{ f[g(x)] \}' = f'[g(x)]g'(x)$$

反函数的导数

性质：

设$y = f(x)$可导，且$f'(x) \neq 0$，则存在反函数$x = \phi(y)$，则有：

$$\phi'(y) = \frac 1 {f'(x)}$$

莱布尼茨公式

适用于乘积的高阶导数：

$$(xy)^{(n)} = \sum^n_{k = 0} {}$$

三、一元函数微分学的几何应用

极值与最值

极值定义：

广义的极值：

$x_0$的某邻域内任一x都有：$f(x) \leq f(x_0)$
则称为广义的极大值

真正的极值：

$x_0$的某去心邻域内任一不同于$x_0$的点x都有：$f(x) < f(x_0)$
则称为真正的极大值

最值定义：

广义的最值：

在函数$f(x)$的定义域内任一点x，都有：$f(x) \leq f(x_0)$
则称为广义的最大值

真正的最值：

在函数$f(x)$的定义域内，对于任一不同于$x_0$的点x，都有：$f(x) < f(x_0)$
则称为真正的最大值

单调性和极值的判别

充分条件1：

极小值：若$f'(x_0)$左-右+
极大值：若$f'(x_0)$左+右-
不是极值点：$f'(x_0)$左右同号

充分条件2：

当$f(x)$在$x_0$处二阶可导，且$f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \neq 0$：

若$f''(x_0) < 0$，则取得极大值
若$f''(x_0) > 0$，则取得极小值

凹凸性与拐点

凹凸、拐点的定义

凹弧：

满足$f(\frac{x_1 + x_2}2) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}2$的（向下弯曲）。即$f''(x) > 0$

凸弧：

满足$f(\frac{x_1 + x_2}2) > \frac{f(x_1) + f(x_2)} 2$的（向上弯曲），即$f''(x) < 0$

拐点：

凸弧与凹弧的分界线
$f''(x_0)$左右两边异号

驻点：

函数的一阶导数为0的点
注意：驻点不一定是极值点

渐近线

水平渐近线
铅垂渐近线
斜渐近线：

若$\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = k_1$，且$\lim\limits_{x \to + \infty}[f(x) - k_1x] = b_1$
则$y = k_2x+ b_2$是曲线$y = f(x)$的一条斜渐近线
也可以是$x \to - \infty$

讨论渐近线的时候三种都要讨论

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四、中值定理

函数的中值定理

对于函数$f(x)$在$[a,b]$上连续：

有界与最值定理：$m \leq f(x) \leq M$，其中，m，M分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最小值与最大值
介值定理：当$m \leq \mu \leq M$时，存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi) = \mu$
平均值定理：当$a<x_1<...<x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\xi$，使

$$f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + ... +f(x_n)}{n}$$
零点定理：当$f(a)·f(b) < 0$时，存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi) = 0$

涉及微分、导数的中值定理

费马定理

设$f(x)$满足在$x_0$点处可导且取得极值，则$f'(x_0) = 0$
证明方法：

假设取得极大值，因为$f'_-(x_0)$和$f'_+(x_0)$异号，又要相等，所以$f'(x_0)$只能等于0

罗尔定理

连续函数两点相等，中间必有导数为0的点

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$f(a) = f(b)$，则存在$\xi \in (a,b)$使得

$$f'(\xi) = 0$$

拉格朗日中值定理

连续函数任取两点，区间内必有某点的导数平行于两点连线

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，则存在$\xi \in (a,b)$使得

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$$ 或者写成
$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

柯西中值定理

两个连续函数，必定能找到一个x，使得在该x下两函数的差之比等于导数之比

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$上可导，且$g'(x) \neq 0$，则存在$\xi \in (a,b)$使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

辨析：

泰勒公式

带拉格朗日余项的：
一般用于证明题

设$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x有：

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + ... +\frac 1 {n!}f^{(n)}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$

带佩亚诺余项的：
一般用于计算题

设$f(x)$在点$x_0$处n阶可导，则存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一点有：

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + ... + \frac 1 {n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
其中，佩亚诺余项$o((x - x_0)^n)$是误差，是$(x - x_0)^n$的高阶无穷小

麦克劳林公式：
当$x_0 = 0$时，泰勒公式称为麦克劳林公式：
以下为一些常见的：

原函数	麦克劳林展开式
$e^x$	$1 + x + \frac 1 {2!}x^2 + ... + \frac 1 {n!}x^n + o(x^n)$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{3!} + ... + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2} {2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$
$\frac 1 {1-x}$	$1 + x + x^2 +... +x^n + o(x^n)$
$\frac 1 {1 + x}$	$1 - x + x^2 - ... +(-1)^nx^n + o(x^n)$
$\ln(1 + x)$	$x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + ... + (-1)^{n-1}\frac{x^n}n + o(x^n)$
$(1 + x)^a$	$1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + ... +\frac{a(a-1)...(a - n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

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五、一元函数积分学

不定积分

原函数与不定积分

原函数定义：

设函数$f(x)$定义在某区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，对于该区间上任意一点都有$F'(x) = f(x)$
则称$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数

不定积分定义：

同上条件，称

$$\int f(x) \mathrm dx = F(x) + C$$ 为$f(x)$在区间$I$上的不定积分，其中C为任意常数
即定义域内所有的积分

原函数、不定积分存在定理

• 连续函数$f(x)$必有原函数$F(x)$
• 含有第一类间断点、无穷间断点的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内必没有原函数$F(x)$

定积分

精确定义：

$$\int _a^b f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n f(a + \frac{b - a}{n}i)\frac{b - a}n$$
特殊情况是，当a=0,b=1时：
$$\int_0^1 f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n f(\frac i n) \frac 1 n$$

定积分存在定理

也称为一元函数的可积性（常义上的：区间有限、函数有界，即黎曼可积性）

充分条件：

• 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^bf(x) \mathrm dx$存在
• 若$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$\int_a^bf(x) \mathrm dx$存在

必要条件：

• 可积函数必有界，即若$\int_a^b f(x) \mathrm dx$存在，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

定积分的性质

估值定理：

设M，m分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，L为区间$[a,b]$的长度，则有：

$$mL \leq \int_a^b f(x) \mathrm dx \leq ML$$

中值定理：

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]]$上至少存在一点$\xi$，使得：

$$\int_a^b f(x) \mathrm dx = f(\xi)(b - a)$$

变限积分

变限积分定义

当x在$[a,b]$上变动时，对应于每一个x值，积分$\int_a^xf(t) \mathrm dt$ 就有一个确定的值，因此$\int_a^xf(t) \mathrm dt$ 是一个变上限的函数，记作：

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) \mathrm dt (a \leq x \leq b)$$
称函数$\Phi(x)$为变上限的定积分，该类定积分统称为变限积分

变限积分的性质

• 函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则函数$F(x) = \int_a^xf(t) \mathrm dt$在$[a,b]$上连续
• 函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则函数$F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm dt$在$[a,b]$上可导

变限积分的求导公式

有变限积分$F(x) = \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(t) \mathrm dt$，在$[a,b]$上连续
可导函数$\phi_1(x)$和$\phi_2(x)$的值域在$[a,b]$，则在函数$\phi_1(x)$和$\phi_2(x)$的公共定义域上，有：

$$F'(x) = \frac {\mathrm d}{\mathrm dx}\left[ \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t) \mathrm dt\right] = f[ \phi_2(x)] \phi '_2(x) - f[\phi_1(x)]\phi'_1(x)$$

注意！
变限积分的两个变量：求导变量x和积分变量t
求导变量x只能出现在积分上下限，积分变量t只能出现在被积函数
如果交叉出现，则需要用恒等变换将其变成标准形式

反常积分

反常积分定义

由于定积分要求：区间有限、函数有界
则对应两种反常积分：

• 无穷区间的反常积分：
  即破坏了区间的有限性的积分
• 无界函数的反常积分：
  即破坏了函数的有界性的积分

无穷区间的反常积分：

反常积分$\int_a^{+ \infty}f(x) \mathrm dx$的定义为：

$$\int_a^{+ \infty} f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{b \to + \infty}\int_a^b f(x) \mathrm dx$$
若上述极限存在，则称该反常积分收敛，否则称为发散
同理有$(- \infty, + \infty)$上的收敛与发散的定义

无界函数的反常积分：

奇点：在反常积分中，一般把$\infty$和使得函数无定义的点(瑕点)统称为奇点
定义：

若b是$f(x)$的唯一奇点，则无界函数$f(x)$的反常积分$\int_a^b f(x) \mathrm dx$的定义为：

$$\int_a^b f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b - \epsilon} f(x) \mathrm dx$$
若上述极限存在，则称该反常积分收敛，否则称为发散

一元函数积分的计算

不定积分的积分法

凑微分法(换元法)

基本思想：

$$\int f[g(x)] g’(x) \mathrm dx = \int f[g(x)] \mathrm d[g(x)]$$
即$u = g(x)$时，$\mathrm du = u’\mathrm dx = g’(x) \mathrm dx$

常见的几种换元

• 三角代换： $$\sqrt{a^2 - x^2}: 令x = a \sin t, |t| < \frac{\pi}2$$
  $$\sqrt{a^2 + x^2}: 令x = a \tan t, |t| < \frac{\pi}2$$
  $$\sqrt{x^2 - a^2}: 令x = a \sec t, |t| < \frac{\pi}2$$
• 恒等变形后三角代换
  $$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{\phi^2(x) + k^2}$$

分部积分法

基本思想

$$\int y \mathrm dx = xy - \int x \mathrm dy$$

六、多元函数微分学

二元函数的极限

定义

二元函数极限有两种定义：
按集合论来定义：

定义1：
只要$f(x,y)$是有定义的，且满足$|f(x,y) - A| < \epsilon$，则$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y) = A$

按邻域来定义：

定义2：
若二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的去心邻域内有定义，且$(x,y)$以任意方式趋向于$(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$均趋向于A，则$\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}f(x,y) = A$

连续性

定义：

如果$\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}}f(x,y) = f(x_0, y_0)$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续

偏导数

定义：

设函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的某邻域内有定义，若极限

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x , y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$
存在，则称此极限为函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对x的偏导数，记作：
$$\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{\substack{x = x_0 \\ y = y_0}}$$
或者 $$f'_x(x_0,y_0)$$

高阶偏导数

如果函数$z = f(x,y)$在区域D内的偏导数$f'_x(x,y), f'_y(x,y)$仍具有偏导数，则他们的偏导数称为函数$z = f(x,y)$的二阶偏导数，四种分别记作：

$$f''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg)$$ $$f''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg)$$ $$f''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg)$$ $$f''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigg( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg)$$
其中，$f''_{xy}$和$f''_{yx}$称为二阶混合偏导数

可微

可微的判断：

1. 写出全增量$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)$
2. 写出线性增量$A\Delta x + B\Delta y$，其中$A = f'_x(x_0,y_0), B = f'_y(x_0, y_0)$
3. 作极限$\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\frac{\Delta z - (A \Delta x + B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}$
   若该极限等于0，则z在该点可微，否则不可微

全增量$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + \omicron(\rho)$，其中$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
全微分$\mathrm dz = A\Delta x + B\Delta y$

全微分：

$$\mathrm dz = A \Delta x + B \Delta y$$

多元函数微分法则

链式求导规则

设$z = f(x,y)$，且$x = m(t), y = n(t)$，则：

$$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}$$
而求他们的偏导数时，如果中间变量为复合函数：
设$z = f(m,n)$，且$m = m(x,y), n = n(x,y)$，则：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial m}\frac{\partial m}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial n}\frac{\partial n}{\partial x}$$
例题：

设$z = f(x^2y^2,e^{xy})$，其中$f(u,v)$有二阶连续偏导数，求$z''_{xx}, z''_{yy}, z''_{xy}$

先求出$\frac{\partial z}{\partial x} = f'_1·2xy^2 + f'_2·ye^{xy}$
然后得到

$$z''_{xx} = (f'_1·2xy^2)' + (f'_2·ye^{xy})'$$
其中， $$(f'_1·2xy^2)' = (f'_1)'·2xy^2 + f'_1·(2xy^2)'$$
而 $$(f'_1)' = f''_{11}·\frac{\partial u}{\partial x} + f''_{12}·\frac{\partial v}{\partial x}$$

隐函数求导公式

设有隐函数$F(x,y) = 0$，则其求导公式为：

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = - \frac{F'_x}{F'_y}$$

对于多元隐函数：

设有隐函数$F(x,y,z) = 0$，且$F'_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0$，则：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_x}{F'_z}$$

多元函数的极值、最值问题

解题过程

条件极值与拉格朗日乘数法：

如果同时满足的条件不止一个，例如：

设函数$z = f(x,y)$,同时满足条件$h(x,y) = 0, g(x,y) = 0$
则：

拉格朗日函数：

$$F(x,y,\lambda , \mu) = f(x,y) + \lambda h(x,y) + \mu g(x,y)$$

如果是在由n个条件组成的边界上，

偏导数的积分：

设函数$z = f(x,y)$，则有：

$$\int \frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y} \mathrm dx = \frac{\partial f}{\partial y}$$

且定积分为：

$$\int_b^a \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \mathrm dx = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_b^a$$

---

七、二重积分

二重积分性质

估值定理：

设M,m分别是$f(x,y)$在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则：

$$mA \leq \iint_D f(x,y) \mathrm d\sigma \leq MA$$

中值定理：

设函数$f(x,y)$在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点$(\xi, \eta)$，使得：

$$\iint_D f(x,y) \mathrm d\sigma = f(\xi, \eta) A$$

二重积分的计算：

极坐标的转换：

$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
$x^2 + y^2 = r^2$

积分的极坐标转换：

直角坐标积分转化为极坐标积分：

$$\iint_D f(x,y) \mathrm d x \mathrm d y = \iint_D g(\theta,r)\mathrm d \theta · r \mathrm dr$$

八、常微分方程

基本思路

解常微分方程的基本思路是：

1. 分离变量化成标准形式：
   $$f(x) \mathrm dx = g(y) \mathrm dy$$
2. 两边同时求积分，得到：
   $$F(x) = G(y) + C$$
   其中，C为常数，一定不要忽略

一阶线性微分方程求解

例如：$y' + p(x)y = q(x)$ 的方程

通解的公式为：

$$y = e^{- \int p(x) \mathrm dx}[\int e^{\int p(x) \mathrm dx}·q(x) \mathrm dx + C]$$

伯努利方程

形如：$y' + p(x)y = q(x)y^n$ 的方程

解法为：
1. 两边同时除以$y^n$，变形为：

$$y^{-n} · y' + p(x) y^{1-n} = q(x)$$
2. 令$z = y^{1-n}$换元，得到分离变量后关于z和x的一阶线性方程，然后利用上式的通解公式求解

高阶线性微分方程求解

二阶可降次微分方程：

形如：$y'' = f(x,y')$ 的方程：

1. 先令$p(x) = y' = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$，则有 $$y'' = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dx} = p'$$
2. 按p和x分离变量，求出p和x的关系式
3. 代入$p(x) = y'$，求出x和y的关系式，得到方程通解

形如：$y'' = f(y,y')$ 的方程：

1. 先令$p = y = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$，则有 $$y'' = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}· \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}= \frac{\mathrm dp}{\mathrm d y}·p$$

二阶常系数微分方程

齐次方程的通解

形如：$y'' + py' + qy = 0$ 的方程，他的特特征方程是：

$$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$$

其中，有

$$\Delta = p^2 - 4q$$
1. 如果$\Delta > 0$，则特征方程有两个不相等的实根，即$\lambda_1 \neq \lambda_2$，通解为：
$$y = C_1 · e^{\lambda_1 x} + C_2 · e^{\lambda_2 x}$$
2. 如果$\Delta = 0$，则特征方程有两个相等的实根，即$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$，通解为：
$$y = (C_1 + C_2x) · e^{\lambda x}$$
3. 如果$\Delta < 0$，则特征方程有一对共轭复根，设为$\alpha \pm \beta i$，通解为：
$$y = e^{\alpha x} (C_1 · \cos\beta x + C_2 · \sin \beta x)$$

非齐次方程的通解

形如：$y'' + my' +ny = f(x)$ 的方程，解法如下：

1. 当自由项$f(x) = p(x) · e^{ax}$ 时，特解要设为：
   $$y^* = e^{ax} · q(x) · x^k$$
2. 确定特解中的各个参数：
   a. 若$p(x)$是x的n次式，则 $$q(x) = C_0 + C_1x^1 + C_2 x^2 + ... + C_n x^n$$
   b. 看a与两个特解$\lambda_1, \lambda_2$是否相等：
   有几个相等的，k就等于几(例如，$a = \lambda_1 = \lambda_2$，则$k = 2$)
3. 写出特解表达式，并代回原式，求出参数
4. 求通解： $$通解 = 齐次方程的通解 + 特解$$
   例如某通解为： $$y = (C_1 + C_2x) e^{2x} + \frac 1 2x^3e^{2x}$$

另外一种自由项时：

1. 当自由项$f(x) = e^{\alpha x} · [p(x) · \cos \beta x + q(x) · \sin \beta x]$ 时，特解要设为：
   $$y^* = e^{\alpha x} · [Q_{l,1}(x) · \cos \beta x + Q_{l,2}(x) · \sin \beta x]·x^k$$
2. 确定特解中的各个参数：
   a. 若$p(x)$是m次式，$q(x)$是n次式，则$l = \max(m,n)$，$Q_{l,1} , Q_{l,2}$都是关于x的l次一般多项式
   b. 看$\alpha \pm \beta i$是否为特征根。 $$是：k = 1 \\ 不是：k = 0$$
3. 写出特解表达式，并代回原式，求出参数
4. 求通解： $$通解 = 齐次方程的通解 + 特解$$

补充定理

九、无穷级数

级数的基本性质

1. 收敛级数 * 常数 = 收敛级数
   若级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，则任意常数a，$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}au_n$也收敛。且： $$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}au_n = a\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$$
2. 收敛级数 ± 收敛级数 = 收敛级数
   若级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$和$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}v_n$均收敛，则$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}(u_n \pm v_n)$也收敛，且： $$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}(u_n \pm v_n) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n \pm \sum \limits_{n = 1}^{\infty}v_n$$
3. a收敛级数 ± b收敛级数 = 收敛级数
   若级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$和$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}v_n$均收敛，则$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}(au_n \pm bv_n)$也收敛，且： $$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}(au_n \pm bv_n) = aS_1 + bS_2$$
4. 收敛级数的m项后余项，敛散性和原级数一样
5. 收敛级数的无穷大项 = 0
   即若$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，则$\lim \limits_{n \to \infty}u_n = 0$
   

   但是注意！这个性质倒过来就不对！
   即$\lim \limits_{n \to \infty}u_n = 0$，级数也不一定收敛

级数敛散性的判别

收敛定义

绝对收敛：$\sum \limits_{n = 1}^\infty |u_n|$收敛，则称$\sum \limits_{n = 1}^\infty u_n$绝对收敛
条件收敛：$\sum \limits_{n = 1}^ \infty u_n$收敛，但是$\sum \limits_{n = 1}^\infty |u_n|$发散，则称$\sum \limits_{n = 1}^\infty u_n$为条件收敛

其中，如果$\sum \limits_{n = 1}^\infty |u_n|$收敛，则$\sum \limits_{n = 1}^\infty u_n$必定收敛

正项级数的判别

1. 收敛原则
   级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛的充分必要条件是：

   它的部分和数列$S_n$满足：$\lim \limits_{n \to \infty}S_n$有界

2. 比较判别法
   两个级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$和$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}v_n$，从某一项开始$u_n \leq v_n$，则：

   大的收敛，小的就收敛。
   小的发散，大的就发散。

3. 比较判别法(极限形式)
   有两个级数$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}u_n$和$\sum \limits_{n = 1}^{\infty}v_n$，且：

   $$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = A$$

   当A = 0，如果v收敛，u就收敛
   当A = +∞，如果v发散，u就发散
   当0< A < +∞，则u和v的敛散性相同

4. 比值判别法
   对于正项级数$\sum \limits_{n = 1}^ \infty u_n$，如果$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{u_{n +1}}{u_n} = \rho$，那么：

   若$\rho < 1$，则收敛
   若$\rho > 1$，则发散

5. 根值判别法
   对于正项级数$\sum \limits_{n = 1}^ \infty u_n$，如果$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$

   若$\rho < 1$，则收敛
   若$\rho > 1$，则发散

6. 莱布尼兹判别法
   对于交错调和级数，形如$\sum \limits_{n =1}^\infty (-1)^{n - 1} u_n$的级数，其中$u_n > 0$，即：
   

   $$\sum \limits_{n =1}^\infty (-1)^{n - 1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - ... + u_n$$

   如果满足以下两个条件，则级数收敛：

   1. $u_n > u_{n+1}$，即$u_n$单调减少
   2. $\lim \limits_{ n \to \infty} u_n = 0$
      注意！该方法只是充分条件而非必要条件

幂级数的收敛域

具体性问题

该类问题的解决方法是：

1. 对于$\sum u_n(x)$，加绝对值变成$\sum |u_n(x)|$，成为正项级数
2. 用正向级数的比值判别法或者根值判别法，即
   $$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} < 1$$ 或者
   $$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} < 1$$
3. 单独讨论收敛区间的两个端点处的级数敛散性

抽象型问题

根据阿贝尔定理，已知$\lim \limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n$在某点$x_1(x_1 \neq x_0)$的敛散性，则：

1. 若在$x_1$处收敛，则收敛半径$R \geq |x_1 - x_0|$
2. 若在$x_1$处发散，则收敛半径$R \leq |x_1 - x_0|$
3. 若在$x_1$处条件收敛，则$R = |x_1 - x_0|$

如果已知$\sum a_n(x - x_1)^n$的敛散性，要求讨论$\sum b_n(x - x_2)^n$的敛散性，其转化有如下性质：

1. 乘以$(x - x_1)^k$，收敛半径不变
2. 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小
3. 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大
4. 对x进行平移，收敛半径不变

其中，求n阶导的时候，级数的下标会加n：

$$(\sum \limits_{n=0}^\infty a_nx^n)' = \sum \limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$$
求积分的时候有：
$$S(x) = \int_0^xS'(t)\mathrm dt$$

收敛半径的特殊关系

对于级数$\sum \limits_{n=0}^\infty a_n x^n$：

如果$\lim \limits_{n \to \infty} |\frac {a_{n+1}}{a_n}|$存在，则记为$\rho$
则收敛半径为$R = \frac 1 \rho$

级数的和函数

常见的和函数展开：

附例

$\frac 1 {\sqrt n}$的敛散性

对于级数$\sum \limits_{n =1}^\infty \frac 1 {\sqrt n}$：

发散
虽然$\lim \limits_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt n} = 0$，但是

$$S_n = 1 + \frac 1 {\sqrt 2} + ... + \frac 1 {\sqrt n} > n · \frac 1 {\sqrt n} = \sqrt n$$
$S_n$ 发散，则原级数发散

$\frac 1 n$的敛散性

对于级数$\sum \limits_{n = 1}^\infty \frac 1 n$：

发散
因为有x > 0的时候，$x > \ln(1 + x)$，所以$\frac 1 x > \ln (1 + \frac 1 x )$。则有：

$$\sum \limits_{n = 1}^ \infty \frac 1 n > \sum \limits_{n = 1}^ \infty \ln(1 + \frac 1 n) = \sum \limits_{n = 1}^ \infty \ln \frac{n + 1} n$$

$\frac 1 {n!}$的敛散性

对于级数$\sum \limits_{n = 1}^ \infty \frac 1 {n!}$：

收敛
因为：

$$S_n \leq 1 + \frac 1 {1 × 2} + \frac 1 {2 × 3} + ... + \frac 1 {(n - 1) n} = 2 - \frac 1 n$$

$\frac 1 {n^p}$的敛散性

对于级数$\sum \limits_{n = 1}^ \infty \frac 1 {n^p}$：

当$p \leq 1$时，发散
当$p > 1$时，收敛

一些常见的抽象敛散性判别

傅里叶级数

傅里叶级数的基本求法

对于在区间$[-\pi,\pi]$：

对于在区间$[-m,m]$：

正弦级数和余弦级数

对于正弦级数，需要对f(x)做奇延拓：

若$f(x)$只在$[0,m]$上给出
奇延拓：相当于把函数扩充成奇函数
 即构造在$[-m,0]$上$F(x) = -f(-x)$

对于余弦级数，需要对f(x)做偶延拓：

偶延拓：相当于把函数扩充成偶函数
 即构造在$[-m,0]$上$F(x) = f(-x)$

---

十、几何应用

一元函数积分

求平面形心坐标

形心的坐标是：

$$\bar x = \frac{\iint \limits_D x \mathrm d \sigma}{\iint \limits_D \mathrm d \sigma} = \frac {\int_a^b x f(x) \mathrm dx}{\int_a^b f(x) \mathrm dx} \\ \bar y = \frac{\iint \limits_D y \mathrm d \sigma}{\iint \limits_D \mathrm d \sigma} = \frac {\frac 1 2 \int_a^b f^2(x) \mathrm dx}{\int_a^b f(x) \mathrm dx}$$

欧拉方程

形如$x^2y'' + p·xy' + qy = f(x)$的微分方程称为欧拉方程，固定解法为：

1. 如果$x > 0$，则设$x = e^t$
   所以有$t = \ln x$ ，$\frac {\mathrm dt}{\mathrm dx} = \frac 1x$
   所以替换得到 $$\frac{d^2y}{dt^2} + (p-1)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + qy = f(e^t)$$
   然后正常解微分方程即可
2. 如果$x < 0$
   设$x = - e^t$，之后同理

曲率

对于直线$y=f(x)$，任意一点的曲率$K$为：

$$K = \frac{|y''|}{[1 + (y')^2]^{\frac 3 2}} = \bigg|\frac {\mathrm d \alpha}{\mathrm d s}\bigg |$$
其中，$\alpha$为旋转角的弧度值，$s$为弧长
曲率半径R为：
$$R = \frac 1 K$$

十一、多元函数积分学

空间曲面积分

假设有空间曲面$S: z = f(x,y)$：
则其面积S就等于：

$$S = \iint \limits_D \sqrt{(z_x')^2 + (z_y')^2 + (z_z')^2} \mathrm dx \mathrm dy$$
即： $$S = \iint \limits_D \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} \mathrm dx \mathrm dy$$

向量乘积

直线与平面

点到直线距离

假设有点M，某直线的方向向量为$\vec s$

1. 找直线上的任意一点$M_0$，求出$\overrightarrow {M_0M}$
2. 则点到直线距离d为： $$d = \frac{|\overrightarrow{M_0M} \times \vec s|}{|\vec s|}$$

曲线绕L直线旋转

一般情况

基本思想：

轴线L上任取一点$M_0$，曲线上任取一点$M$，轴线的方向向量是$\vec s$
设旋转体上任意一点坐标为$P(x,y,z)$，则有：

1. $\overrightarrow{M P} \perp \vec s$
2. $|\overrightarrow{M_0P}| = |\overrightarrow{M_0 M}|$
3. 列出方程组，解出P的坐标

轴线为坐标轴时

假设曲线绕z轴旋转，求曲线旋转体的解析式：

1. 根据条件消掉z（即用z表示x和y）： $$x^2 + y^2 = x_1^2 + y_1^2 \\ z = z_1$$
2. 求出$x_1^2 + y_1^2 = f(z)$，将之代回原式得到旋转体的解析式

方向导数与梯度

定义：

假设三元函数$u = u(x,y,z)$，某方向向量为$\vec n$
则$M_0 = (x_0,y_0,z_0)$点的：

该方向上的方向导数$\frac {\partial u}{\partial \vec n}$：

$$\frac {\partial u}{\partial \vec n} \bigg |_{M_0} = u_x'(M_0)\cos \alpha + u_y'(M_0)\cos \beta + u_z'(M_0)\cos \gamma$$
其中$\alpha, \beta, \gamma$分别是三个坐标轴与$\vec n$的夹角
即$\cos \alpha = \cos (\vec i , \vec n)$

而该函数在该点的梯度$\nabla u$或$\mathrm{grad} \ u$：

梯度即为最大的方向导数，即

$$\nabla u = u_x'(M_0) \vec i + u_y'(M_0)\vec j + u_z'(M_0)\vec k$$
在该方向上方向导数值最大，在其反方向上方向导数最小

十二、三重积分与第一型曲线曲面积分

坐标系的变换

柱坐标

有三重积分$\iiint \limits_\Omega f(x,y,z) \mathrm dv$，则柱坐标变换为：

$$x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z$$
则有 $$\mathrm dv = r · \mathrm dr \mathrm d \theta \mathrm dz$$

球坐标

有三重积分$\iiint \limits_\Omega f(x,y,z) \mathrm dv$，则柱坐标变换为：

$$x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi$$
则有 $$\mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz = r^2 \sin \varphi · \mathrm d \theta \mathrm d \varphi \mathrm dr$$

第一型曲线、曲面积分

第二型曲线、曲面积分

第二型曲线积分

平面曲线：

总结：
1. 参数法：一段平面曲线
2. 格林公式： 一段闭合曲线

空间曲线：

总结：
1. 仅对闭合曲线，用斯托克斯公式
2. 转成第一型曲面积分或者第二型曲面积分
3. 对于第二型曲面积分，用投影法计算

第二型曲面积分：

总结：
1. 对于普通曲面，将之投影至xoy面计算
2. 对于空间闭合曲面，用高斯公式计算

重心与形心

---

线性代数

一、行列式的基本概念和计算

行列式概念

行列式都是$n \times n$的方阵

二阶行列式：

$\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix}\right| = a_1b_2 - a_2b_1$
物理意义是：
 由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow b$为两边的平行四边形的面积

同理，三阶行列式：

$\left| \begin{matrix} \overrightarrow a \\ \overrightarrow b \\ \overrightarrow c \end{matrix}\right|$的物理意义是：
  由$\overrightarrow a, \overrightarrow b , \overrightarrow c$为三个邻边的平行六面体的体积

行列式的基本性质

1. 转置，值不变。即$|A| = |A^T|$
2. 某行、列全为0，行列式值为0
3. 同一行、列的公因子k，可以提到外面去
4. 行列式的拆分：
   

   

5. 两行、列交换，行列式值反号
6. 两行、列成比例，行列式值为0
7. 某行、列倍加到另一行、列，值不变

行列式的展开

余子式

原行列式去掉$a_{ij}$所在的第i行和第j列元素后剩下的矩阵$M_{ij}$

代数余子式

$$|A| = \sum\limits_{i = 1}^n a_{ik}A_{ik}$$
注意：$A_{ij}$有正负号，符号为$(-1)^{i+j}$

几个重要的行列式

1. 主对角行列式

   就等于对角线乘积
   

2. 副对角行列式

   就等于副对角线乘积再乘以正负号
   

3. 拉普拉斯展开式

   其中，$A(m \times m)$和$B(n \times n)$是两个行列式：
   

4. 范德蒙德行列式

   即列方向的等比数列
   

克拉默法则

对于非齐次方程

其中，方程的解为

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$$
当$|A| \neq 0$时，方程有唯一解
当$|A| = 0$时，方程有一系列解

对于齐次方程

当$|A| \neq 0$时，方程有唯一零解
当$|A| = 0$时，方程有非零解

矩阵

基本性质

矩阵的秩

秩：本质上就是矩阵中线性无关的向量个数

同型矩阵

同型矩阵：两个矩阵的行数列数相等

基本运算

数乘：$k\boldsymbol A = \boldsymbol A k = (ka_{ij})_{m \times n}$

即：每个元素都要乘以k

注意：
1. $|\boldsymbol A + \boldsymbol B| \neq |\boldsymbol A| + |\boldsymbol B|$

初等变换

变换矩阵为$\boldsymbol T$，则有：

$\boldsymbol T \boldsymbol A$为对A的行变换
$\boldsymbol A \boldsymbol T$为对A的列变换

矩阵乘法满足的规律

• 结合律：$(AB)C = A(BC)$
• 分配律：$A(B+C) = AB + AC$

注意：
1. 矩阵乘法不满足交换律，即$AB \neq BA$
2. $AB = O$不能得出$A = O$或$B = O$
3. $AB = AC, A \neq O$不能推出$A(B - C) = O$和$B = C$

矩阵乘法的行列式：

$$|ABC| = |A|·|B|·|C|$$

注意：有常数项时，计算要注意
例如，$A$为n阶方阵，则：

$$|k \boldsymbol A| = k^n |\boldsymbol A|$$

转置

有如下规律：

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(AB)^T = B^TA^T$
  其中，转置和求逆可以交换：
  $$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$$

向量内积

对应向量点乘：

向量正交

$\boldsymbol {\alpha^T} \boldsymbol \beta = 0$时，这两个向量称为正交向量

向量的模长

记作$|| \alpha || = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^n a_i^2}$

施密特标准正交化

特殊矩阵

• 零矩阵$O$
• 单位矩阵$E$/$I$，对角线为1其余全为0
• 数量矩阵：k倍单位矩阵
• 对角矩阵：除主对角以外，其他全为0的矩阵
• 对称矩阵：$A^T = A$
• 反对称矩阵：$A^T = -A$(主对角线全部为0)
• 正交矩阵：方阵$A^TA = E$，即$A^T = A^{-1}$，即$A$由一组标准正交向量组构成

注意，在证明$\boldsymbol A = \boldsymbol O$时，有以下方法：
1. 证明$a_{ij} = 0$
2. 证明$r(A) = 0$
千万不能直接证明$|A| = 0$

矩阵的逆：

逆矩阵

对于矩阵$A$，若$AB = BA = E$，则$B$是$A$的逆矩阵，记作$B = A^{-1}$

矩阵可逆的充要条件：

$$|A| \neq 0$$

伴随矩阵

要点：

$$AA^* = |A| · E$$
逆矩阵的求法：
$$A^{-1} = \frac 1 {|A|} · A^*$$
还有 $$|A^*|= |A|^{n-1}$$
运算规律$(AB)^* = B^*A^*$

矩阵的秩

伴随矩阵的秩

假设$\boldsymbol A$为n阶矩阵：

$r(A)$	$r(A^*)$	备注
$n$	$n$	$|A|$和$|A^*|$都不为0
$n - 1$	1	$|A| = 0$，但是至少有一行/列的代数余子式不等于0
$< (n - 1)$	0	$A^*$所有元素都为0

其他性质

条件	结论	备注
$\boldsymbol A\boldsymbol B = \boldsymbol O$	则$r(A) + r(B) \leq n$	其中n为AB的长\宽
-	$r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$
$A^2 = A$	则$r(A) + r(A - E) = n$
$A^2 = E$	则$r(A + E) + r(A - E) = n$

逆矩阵的性质

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $k \neq 0, (kA)^{-1} = \frac 1 k A^{-1}$
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $|A^{-1}| = |A|^{-1}$

等价、相似矩阵

等价矩阵定义

$A、B$都是$m \times n$的矩阵，且存在可逆矩阵$P、Q$使得：

$$PAQ = B$$ 则$A \cong B$

条件：AB同型，且$r(A) = r(B)$

相似矩阵定义

同上，需要满足

$$P^{-1}A P = B$$
则AB相似，记为 $$A \sim B$$

向量

线性无关

若$\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3$线性无关，则：
 由$\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3$组成的齐次线性方程组有唯一零解，即：

$$|\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3| \neq 0$$

线性方程组

解

对于n阶矩阵$A$，$AX=0$的通解：

1. 如果通解中有m个无关向量，则$r(A)+m = n$

特征值与特征向量

定义

对于特征值$\lambda$和特征向量$\xi$，满足以下关系：

$$\boldsymbol A \xi = \lambda \xi$$
且有：
$$|\lambda \boldsymbol E - \boldsymbol A| = 0$$

可以相似对角化的充要条件：

矩阵有n个线性无关的特征向量

充分条件：

矩阵有n个不同的特征值

A和B相似的判断

假设有三阶矩阵A和B，则：

性质

特征值

对于$\boldsymbol A$的所有特征值$\lambda_i$，都有：

1. 特征值之和=A的对角元素之和=$tr(A)$
2. 特征值之积=|A|
3. A的每行元素之和都为x，则其中一个特征值$\lambda_1 = x$

特征向量

对于$\boldsymbol A$的所有特征向量$\xi_i$，都有：

1. 如果$\xi_1,\xi_2$的特征值$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则$\xi_1 , \xi_2$ 线性无关
2. 如果$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$，则$k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$依然是特征值为$\lambda$的特征向量
3. 如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，且特征值、特征向量都不为0，则$k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$不是A的特征向量

逆矩阵、伴随矩阵的特征值

若对于三阶矩阵$A$，他的特征值有$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$：
则：

1. 逆矩阵$A^{-1}$：特征值分别为： $$\frac 1 {\lambda_1}, \frac 1 {\lambda_2}, \frac 1 {\lambda_3}$$
2. 伴随矩阵$A^*$：因为有$A^* = |A|A^{-1}$，所以特征值分别为： $$\lambda_1\lambda_2,\lambda_1\lambda_3, \lambda_2\lambda_3$$ 或者：
   $$\frac {|A|} {\lambda_1}, \frac {|A|} {\lambda_2}, \frac {|A|} {\lambda_3}$$

线性变化后的方程特征值

对于三阶矩阵$A$，他的特征值有$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$
若有$B = A + mE$，则：

1. $B$的特征值分别为： $$\lambda_1+m,\lambda_2+m,\lambda_3+m$$

特征方程与特征值的关系

例：对于4阶实对称矩阵$A$满足：$A^3-A^2-2A = 0$

1. 特征方程为$\lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0$
2. 矩阵的特征值一定满足特征方程，但是特征方程的解不一定就是A的特征值
3. 以上特征方程解出来$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 2$，则
   a. A的特征值一定在以上三个中，且可以重复取用
4. $|A|=A$的所有特征值之积
5. $tr(A)=A$的所有特征值之和

二次型

对于矩阵$A$，有$x^TAx = m$可以化为标准型$C_1y_1^2+...+C_ny_n^2=m$
则：

$$r(A) = m$$

矩阵合同

若A和B合同，则：

$$P^T A P = B$$
即：A和B两个矩阵对应的二次型是可以相互转化的

判断条件：
A和B的正负惯性指数相等
所谓负惯性指数，就是A的标准型有多少个负号

配方法

正交法

---

概率论

各种分布

其中，泊松分布的$\lambda = np$

二元分布

二维均匀分布

$$f(x,y) = \left \{ \begin{aligned} \frac 1 {S_0} & & (x,y) \in D \\ 0 & & 其他\\ \end{aligned} \right.$$

二维正态分布

$$f(x,y) = \frac 1 {2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} · \exp \{- \frac 1 {2(1 - \rho^2)}[(\frac{x - \mu_1}{\sigma_1})^2 + (\frac{y - \mu_2}{\sigma_2})^2 - 2 \rho(\frac{x - \mu_1}{\sigma_1})(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})] \}$$
其中：
$$X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2) \\ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) \\ (X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$$
上面式子中的$\rho$为XY的相关系数： $$\rho = \frac{Cov (X,Y)}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sigma_1 \sigma_2}$$

变量相互独立

充要条件：

$$F(x,y) = F_X(x) · F_Y(y)$$
概率密度也是同理

则X和Y相互独立

其中边缘分布：

$$f_X(x) = \int_{- \infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm dy$$
$f_Y(y)$也是同理

相互独立的性质

$$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = f_X(x)$$
同理有：
$$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = f_Y(y)$$
即：

条件概率密度 = 边缘概率密度

推广形式：

当XY独立时才能使用：

图注：最后一个应该是"卡方分布$\chi^2$"，笔误

求分布函数和密度函数

离散+连续型

X是离散分布，Y是连续分布，求Z=X+Y分布，则：

用全概率公式，即：

$$F_Z(z) = P\{X+Y \leq z \} \\ = \sum P\{X+Y \leq z | X = x_i\} · P\{X = x_i\}$$
将$X = x_i$代入，进一步化为：
$$F_Z(z) = \sum P\{x_i + Y \leq z\}· P\{X = x_i\}\\ = \sum P\{Y \leq z - x_i\} · P\{X = x_i\} \\ = \sum F_Y(z-x_i) · P\{X = x_i\}$$

变量的数字特征

均值和方差

均值

连续型：

$$EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm dx$$
如果积分绝对收敛，则期望存在
否则积分不存在
且有：
$$E[g(x)] = \int_{\infty}^{+\infty} g(x) · f(x) \mathrm dx$$
例如：$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \mathrm dx$

对于任意X，Y，无论独立不独立，均有：

$$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$$

方差

连续型：

$$DX = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - EX)^2 f(x) \mathrm dx$$

协方差与相关系数

对于标准正态分布$X \sim N(0,1)$，有：

1. $EX=0$,$DX=1$
2. $EX^2 = 1 = DX + (EX)^2$
3. $DX^2 = 2$，因为$X^2 \sim \chi^2(1)$
4. $EX^4 =$

联合期望

$$E(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} xyf(x,y) \mathrm dx \mathrm dy$$
表示$X \cap Y$的均值

独立与相关

独立 > 不相关

不相关：不一定独立，只是没有线性关系，即$\rho = 0$
独立：一定不相关，即$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$

切比雪夫不等式

切比雪夫不等式：

对所有的$\varepsilon > 0$：

$$P\{|X - EX| < \varepsilon\} \leq \frac {DX}{\varepsilon^2}$$
$$P\{|X - EX| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac {DX}{\varepsilon^2}$$

常见分布和方差

分布	符号	分布函数\概率密度	期望E	方差D	备注
0-1分布	0-1	$P\{X = k \} = p^k(1-p)^{1-k}$	p	$p(1-p)$	k=0或1
二项分布	$B(n,p)$	$P\{X = k\} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$	np	$np(1-p)$	k等于0,1,2...
泊松分布	$P(\lambda)$	$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$	当n较大而p特别小时
几何分布	$G(p)$	$P\{X = k\} = (1 -p)^{k-1}p$	$\frac 1p$	$\frac {1-p}{p^2}$	做了k次才成功，平均要做$\frac 1p$次
超几何分布	$H(n,N,M)$	$P\{X = k\} = \frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$	$n\frac M N$	$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$	总N个，有M个次品，取k个不放回
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$\Phi(x)$、$\varphi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\}$	$\mu$	$\sigma^2$
均匀分布	$U(a,b)$	$f(x) = \frac 1 {b-a}$	$\frac {a+b}2$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$E(\lambda)$	$f(x) = \lambda e^{-\lambda x},x > 0$	$\frac 1 \lambda$	$\frac 1 {\lambda^2}$
卡方分布	$\chi^2(n)$	$f(x) = \frac{x^{\frac n 2 - 1}·e^{-\frac x 2}}{\Gamma(\frac n 2)2^{\frac n 2}},x>0$	n	2n	n个标准正太分布的平方和的分布

大数定律与中心极限定理

定义

大数定律：大样本的均值会收敛于真实值，但怎么分布的不知道
中心极限定理：超大样本的分布会趋近于正态分布，且n越大方差越小
记法：
 如果

$$\lim \limits_{n \to \infty} P\{|X_n - X| \geq \varepsilon\} = 0$$ 或者 $$\lim \limits_{n \to \infty} P\{|X_n - X| < \varepsilon\} = 1$$
则有：
$$\lim \limits_{n \to \infty}X_n = X(P)$$ 或者
$$X_n \xrightarrow{P}X(n \to \infty)$$

对比表格：

大数定律：

名字	条件	结论	备注
切比雪夫	相互独立，方差存在且有上界	$\frac 1 n \sum \limits_{i = 1}^n X_i \xrightarrow{P}\frac 1 n \sum \limits_{i = 1}^n EX_i$	总体的均值=各个随机变量均值的和
伯努利	n重伯努利试验，每次概率为p，A事件发生次数为$\mu_0$	$\frac{\mu_0}{n} \xrightarrow{P} p$	即用频率代替概率
辛钦	独立、同分布、期望存在且都等于$\mu$	$\frac 1 n \sum \limits_{i=1}^nX_i \xrightarrow{P}\mu$	总体的均值=同一个分布的均值

其中，由切比雪夫可以推出辛钦

中心极限定理：

独立同分布中心极限定理（列维-林德伯格定理）：

$$\lim \limits_{n \to \infty} \bigg\{ \frac {\sum \limits_{i=1}^nX_i - n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \leq x \bigg\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 1 2 t^2} \mathrm dt = \Phi(x)$$
即：当随机变量序列$\{X_i\}$为“独立、同分布、期望和方差都存在”时，整体分布趋于正态分布

二项分布中心极限定理（棣莫弗-拉普拉斯定理）：

假设随机变量$Y_n \sim B(n,p)$，则对任意实数x有：

$$\lim \limits_{n \to \infty} P \bigg\{ \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq x \bigg\} = \frac 1 {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e ^{- \frac{t^2} 2}\mathrm dt = \Phi(x)$$
即：当变量为二项分布时，一定有期望，所以根据上条定理，该变量服从正态分布

数理统计的基本概念

样本与抽样分布

三大抽样分布

参数估计

矩估计

例如：

最大似然估计

---

微积分解题手册

求极限

常用等价无穷小

当x→0时：
以下都等价于x

$\sin x$
$\tan x$
$\arcsin x$
$\arctan x$
$\ln (1 + x)$
$e^x - 1$

以下为特殊：

原式	等价无穷小
$\sqrt[n]{1 + x} - 1$	$\frac xn$
$1 - \cos x$	$\frac 1 2 x^2$
$\tan x - \sin x$	$\frac 1 2 x^3$
$\log _a(1 + x)$	$\frac x {\ln a}$
$a ^x - 1$	$x \ln a$

利用好两个重要极限：

夹逼法：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
单调有界准则：
$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac1x)^x = e$$

其他特殊极限：

$$\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$$
$y = x^x$的图像：

不定式对应求解：

$\frac00$型：

目标：分母越简单越好

• 洛必达法则
• 见到根号差，就用有理化

$\frac{\infty}{\infty}$型：

• 上下同时除以相同的数
• 有理化

$\infty · 0$型：

目标：化成以上两类

• 等价无穷小代换

$\infty - \infty$型：

目标：将加减法转化为乘除法，就可以用等价无穷小代换

• 通分——变成除法
• 提取公因式——变成乘法

$\infty^0, 0^0, 1^\infty$型：

两个恒等变换：

$$\lim x^y = e^{\lim y \ln x}$$
和
$$\lim x^y = e^{\lim(x - 1)y}$$

方法二：

若$\lim A(x) = 0$，$\lim B(x) = \infty$，且满足：

$$\lim A(x)B(x) = M$$
则 $$\lim[1 + A(x)]^{B(x)} = e^M$$

导数与微分

基本初等函数导数公式

原函数	一阶导数	备注
$x ^ a$	$a x^{a - 1}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log _ a x$	$\frac 1 {x \ln a}$	$a > 0, a \neq 1$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\arcsin x$	$\frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$- \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}$
$\tan x$	$\sec^2 x$	正割$\sec x = \frac 1 {\cos x}$
$\cot x$	$- \csc^2 x$	余割$\csc x = \frac 1 {\sin x}$
$\arctan x$	$\frac 1 {1 + x^2}$
$\text{arccot } x$	$- \frac 1 {1 + x^2}$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$- \csc x \cot x$
$\ln(x + \sqrt{x ^2 + 1})$	$\frac 1 {\sqrt{x^2 + 1}}$
$\ln (x + \sqrt{x^2 - 1})$	$\frac 1 {\sqrt{x^2 - 1}}$
$\frac 1 2 \ln \cos^2x$	$\tan x$	即$\int \tan x = \frac1 2 \ln \cos^2 x + C$
$\ln|\sec x + \tan x|$	$\sec x$	即$\int \sec x = \ln|\sec x + \tan x| + C$

利用定义求导数

定义：

$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$

隐函数求导

左右同时对x求导：

若函数由$F(x,y) = 0$确定，要求$\frac{dy}{dx}$或者$y'$：
左右同时对x求导
注意：y其实是y(x)，所以，y也要求导数

参数方程求导：

若函数由参数方程$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x = m(t) \\ y = n(t) \end{aligned} \right. \end{equation}$确定，则：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} · \frac{dt}{dx}$$

反函数求导

有函数$f(x)$和他的反函数$g(x)$，则有：

$$f'(x) = \frac 1 {g'(x)}$$ 或者：
$$f'(x)·g'(x) = 1$$

求积分

换元法

换元法步骤：

要求$\int f[m(x)] \mathrm dx$
1. 令$t = m(x)$，则$x = n(t)$
2. 两边同时求微分，得到$\mathrm dx = n'(t)·\mathrm dt$
3. 将上式代入原式当中，继续计算

注意！换元也要换定义域！！

分部积分法

分部积分法步骤：

要求
1. 先凑微分成：$\int x · y' \mathrm dx$
2. 将上式换元得到：$\int x·y' \mathrm dx = \int x \mathrm dy$
3. 分部积分公式：

$$\int x \mathrm dy = xy - \int y \mathrm dx$$

常见于带有sin x、cos x、1/x等形式，重点在于找出一个项的导数、以及所有一项难求的积分

积分的精确定义

请确定义是：

$$\int_0^1 f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{n \to \infty }\sum_{i=1}^n f(\frac i n)\frac 1 n$$

积分不等式求证

当题目出现求证积分不等式时，一般考虑采用函数单调性或者积分中值定理证明，例如：

已知$f(x)$在$[a,b]$连续且严格单调增加，求证：

$$(a + b)\int_a^bf(x) \mathrm dx < 2 \int_a^b xf(x) \mathrm dx$$
解：
构造辅助函数 $$F(t) = (a + t)\int_a^tf(x) \mathrm dx - 2 \int_a^t xf(x) \mathrm dx$$

存在与连续专题

函数与极限

极限存在：

1. 左、右极限都不为无穷大
2. 左、右极限相等

即使该点无定义，也可能存在极限

函数连续：

1. 左、右极限存在
2. 左、右极限相等，且等于该点函数值

函数可导(导数存在)：

1. 该点左右导数都存在且相等

   左右导数存在即两个极限存在：

   $$\lim\limits_{\Delta \to 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta) - f(x_0)}{\Delta} 和\lim\limits_{\Delta \to 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta) - f(x_0)}{\Delta}$$

2. 函数在该点要连续

偏导数存在（同上）：

用定义证明，即：

要证明z对x偏导数存在，则以下两个极限存在：

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} 和\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

函数可微：

对于一元函数：
  可微必然可导，可导必然可微
对于所有函数，需要用定义证明：

即需要满足，(全增量-线性增量)是距离的高阶无穷小，函数就可微

二元函数在某点$(x_0,y_0)$可微：
则需要满足

$$\frac {\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac {\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)}$$
即在该点的两偏导数相等

无穷级数

收敛中心和收敛域

对于$\sum a_n(x-a)$在$x_0$绝对收敛时：

1. 收敛中心：$x=a$
2. 收敛半径：$R=x_0-a$

收敛半径第二种求法
对于$\sum a_nx^n$：

如果$\lim \limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}} {a_n}|=\rho$
那么收敛半径$R = \frac 1 \rho$

三角代换

常用的三角代换公式

积化和差：

• $\sin \alpha \cos \beta = \frac 1 2[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
• $\sin \alpha \sin \beta = -\frac 1 2[\cos[\alpha + \beta] + \cos(\alpha - \beta)]$
• $\cos \alpha \cos \beta = \frac 1 2[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$

和差化积：

• $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta} 2 \cos \frac{\alpha - \beta} 2$
• $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta} 2 \cos \frac{\alpha - \beta} 2$
• $\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha + \beta} 2 \sin \frac{\alpha - \beta} 2$

二倍角公式：

• $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha$
• $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha} {1 - \tan^2 \alpha}$

万能公式：

• $\sin \alpha = \frac{2 \tan \frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac \alpha 2}$
• $\cos \alpha = \frac{1 -\tan^2 \frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac \alpha 2}$
• $\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac \alpha 2}{1 - \tan^2 \frac \alpha 2}$

求函数渐近线

1. 竖直渐近线：
   
   • 检查是否有断点
   • 检查断点是否为竖直渐近线
2. 水平渐近线：
   
   • 求$\lim \limits_{x \to ±\infty} f(x)$，若极限存在且等于b
   • 则水平渐近线为y=b
3. 斜渐近线：
   
   • 求$\lim \limits_{x \to ±\infty} \frac{f(x)}{x}$
     
     • 若极限存在且等于k
   • 求$\lim \limits_{x \to ±\infty} \big[f(x) - x\big]$
     
     • 若极限存在且等于b
   • 则斜渐近线为y=kx+b

洛必达专题

适用条件

1. 函数每一步都为"$\frac 0 0$型"或者"$\frac \infty \infty$型"
2. 在$x \to x_0$和$x \to \infty$均可用
3. 每一步都要检查是否符合条件1，结果应该是$A_0$或者$\infty$

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