疫情回归分析

计量报告

基于时间序列数据的SIR模型

模型的建立

模型将人群分为以下三类：

• S(Susceptible)易感染者
• I(Infective)感染者
• R(Removal)移出者

其中，N为总人数

为了方便研究，我们将其单位统一，即：

$$s = \frac S N \\ i = \frac I N \\ r = \frac R N$$

引入两个参数：

$\beta$：感染率系数，物理意义是：原有感染者与易感者混合后，新增感染者占前两者乘积的比例。定义为：

$$\beta = \frac{|\Delta s_t|}{s_{t-1}·i_{t-1}}$$
$\gamma$：恢复率系数，物理意义是：新增康复者（含死亡）占原有感染者的比例。定义为：
$$\gamma = \frac{|\Delta r_t|}{i_{t-1}}$$

由此可以得到以下s,i,r三个参数增量的计算方法：

$$\Delta s_t = - \beta · s_{t-1} · i_{t-1} \\ \Delta r_t = \gamma · i_{t-1} \\ \Delta i_t = \beta · s_{t-1} · i_{t-1} - \gamma · i_{t-1}$$

建立回归模型为：

$$y_t = \alpha + \beta x_{1,t-1} + \gamma x_{2,t-1}$$
其中：

• $\alpha$：截距
• $y_t$：第t天新增的感染者
• $x_{1,t-1}$：第t-1天的感染者i×易感者s
• $x_{2,t-1}$：第t-1天的感染者×-1

模型的结果

引入再生比率$R_0$来表示疫情的传播情况，其中：

$$R_0 = \frac \beta \gamma$$

即

$$再生比率 = \frac{传染率}{回复率}$$

显然可以得出，当再生比率小于1时，疫情的传染速度小于治愈(包括死亡)速度，疫情得到控制

数据处理

 我们有195天的样本，首先我们以10天为一个时间窗口，以1天为步长滑动窗口抽取样本，得到195-10=185组数据，每组数据分别对$\beta$、$\gamma$进行线性回归，具体过程如下：

1. 首先，将原始数据归一化得到s,i,r:
   
2. 每10天为1组，分别对$\beta$和$\gamma$进行线性回归，得到185组数据：
   $\beta$：
   
   部分$\beta$：
   
   $\gamma$：
   
   部分$\gamma$：
   
3. 用$R_0 = \frac \beta \gamma$算出$R_0$：
   
   然而很明显，存在误差较大的噪声点，我们用t检验去除置信度为95%以下的噪声点后，后得到修正后的$R_0$：
   
   其中，明显等于0的点为空白数据（原噪声数据），橘色为$R_0 = 1$的参考线

回归检验

根据置信区间检验公式，我们构造出95%的置信区间：

$$\hat{R_0} \in (\hat R_0 - t_{crit} · SE(\hat R_0), \hat R_0 + t_{crit} · SE(\hat R_0))$$
得到$R_0$的置信区间为：
以下为部分：

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基于截面数据的SIR模型