高等数学解题手册

微积分

函数与极限

洛必达法则

洛必达法则的使用情况与注意事项：

1. 所求极限满足"$\frac 0 0$型"或者"$\frac \infty \infty$型"
2. 每一步都要检查是否满足条件1，如果不满足，则中止并代入计算
   a. 如果代入计算出等于$A_0$或者$\infty$，则该结果即为所求极限
   b. 如果代入极限不存在，则该方法失效，需要换其他方法
3. 在$x \to x_0$和$x \to \infty$的情况下，只要满足1，都可以使用
   

   注意，如果含有f(x)，未知在该点是否有导数，则不能对含有f(x)的项进行洛必达
   应将该项分离后，对剩下项洛必达

等价无穷小

等价无穷小适用条件：

1. 乘法除法时
2. 加法减法（使用后不会抵消）
   

   注意：等价无穷小不能使用在内函数中

易错型$(1 + \frac 1 n)^n - e，n \to \infty$

不能直接用重要极限结论 $\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac 1 n)^n = e$
正确解法：

1. 化幂函数：$I = e^{n \ln(1 + \frac 1 n)} - e$
2. 提取公因子：$I = e·[e^{n\ln(1 + \frac 1 n)-1}-1]$
3. 等价无穷小代换$a^x - 1 = x\ln a,x \to 0； 所以$$[e^{n\ln(1 + \frac 1 n)-1}-1] = n\ln (1 + \frac 1 n) - 1$
4. 用泰勒公式：$\ln(1 + \frac 1 n) = \frac 1 n - \frac 1 {2n^2} + o(\frac 1 {n^2})$
5. 代回原式子，求出$I = - \frac e {2n}$

$(1+x)^{x^2} - e$

1. 先化幂函数：$I = e^{x^2\ln(1 + x)} - e$
2. 提取公因式：$I = e·(e^{x^2\ln(1 + x) - 1}- 1)$
3. 等价无穷小代换$e^x - 1 = x, x \to 0$，所以$I = e ·\big[ x^2\ln(1 + x) - 1\big]$
4. 泰勒公式：$\ln(1 + x) = 1 - \frac 1 2 x + ... +(-1)^{n-1}\frac 1 n · x^n + o(x^n)$

见到$\ln|x|$，则：

可能使用洛必达
求导结果为：

$$(\ln|x|)' = \frac 1 x$$