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@evilking 2018-03-03T08:29:35.000000Z 字数 2386 阅读 1532

时间序列篇

平稳时间序列分析工具

在实际序列分析中有一些方法性工具经常使用,它们可以使我们的模型表达式和序列分析更加简洁、方便

差分运算

阶差分

相距一期的两个序列值之间的减法运算称为 1 阶差分运算.记 的 1 阶差分:

对 1 阶差分后序列再进行一次 1 阶差分运算称为 2 阶差分.记 的 2 阶差分:
依次类推,对 阶差分后序列再进行一次 阶差分运算称为 阶差分.记 阶差分.


步差分

相距 的两个序列值之间的减法运算称为 步差分运算.记 步差分:


延迟算子

定义

延迟算子类似于一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拔了一个时刻.记 为延迟算子,有

延迟算子有如下性质:

  1. 为任一常数,有

  2. 对任意两个序列 ,有

  3. ,其中


用延迟算子表示差分运算

阶差分

步差分


线性差分方程

线性差分方程的定义

称如下形式的方程为序列 的线性差分方程:

式中,为实数; 的已知函数.

特别地,若 ,则差分方程

称为齐次线性差分方程.否则 称为非齐次线性差分方程.


齐次线性差分方程的解

齐次线性差分方程的求解要借助它的特征方程和特征根.齐次线性差分方程的特征方程为

这是一个一元 次线性方程,它应该有 个非零根,称这 个非零根为特征方程的特征根,不妨记作
特征根的取值不同,齐次线性差分方程的解会有不同的表达式.下面分情况讨论:

  1. 个不同的实数.
    这时齐次线性差分方程的解为:

    式中,为任意实数.

  2. 中有相同实根.
    不妨假定 个相同实根,而 为互不相同实根.这时齐次线性差分方程的解为:

    式中,为任意实数.

  3. 中有复根.
    由于差分方程的系数 为实数,所以其复根必呈共轭出现.不妨假定

    为一对共轭复根,其中 ,而 为互不相同实根,这时齐次线性差分方程的解为:
    式中,为任意实数.


非齐次线性差分方程的解

求非齐次线性差分方程的解通常需要进行两步运算.首先求出齐次线性差分方程的通解 ;然后求出该非齐次线性差分方程的一个特解 .

所谓特解,就是任意一个使得非齐次线性差分方程成立的值 ,即

而非齐次线性差分方程的通解即为齐次线性差分方程的通解 和非齐次线性差分方程的特解 之和,即

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