线性代数及其应用——空间

线性代数

向量空间

满足以下十个条件：(u、v是向量)
1.u v之和属于V；
2.u+（-u）=0；
3.乘法封闭；
4.u+v=v+u;
5.u+0=u;
6.(u+v)+w=(v+w)+u;
7.（c+d）u=cu+du；
8.c（u+v）=cu+cv;
9.c(du)=d(cu);
10.1u=u;

子空间

满足三个条件
1.零向量属于该空间；
2.加法封闭；
3.乘法封闭；

零子空间

只有0向量

矩阵的列空间和零空间

列空间

矩阵A的列空间是矩阵的个列线性组合的集合。求列空间的基就是化简矩阵A，有几个主元列秩就是多少，所有（未化简前的）主元列都是基的向量。（可以理解为其他列都能用这三个基来表示。）

零空间

矩阵a的零空间是其次方程Ax=0的所有解的集合。
所以求基就是化简矩阵A，有多少个自由向量其秩就是多少。基的向量就是Ax=0的解。

逆矩阵

逆矩阵的各列线性无关，显然有n个主元列，所以其列空间有n个基，零空间只有零向量，没有基。

维数和秩

矩阵A的秩是A的列空间的维数。

秩定理

rankA+dimNulA=n

基定理

即是再说基不为一，只要基的各个向量线性无关。

秩与可逆矩阵定理