23四大基本子空间

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29 If $A = uv^T$ is a 2 by 2 matrix of rank 1, redraw Figure 3.5 to show clearly the Four Fundamental Subspaces. If B produces those same four subspaces, what is the exact relation of B to A?
解：A与B有相同的四大基本子空间，B=xA(x是一个列向量)。
30 M is the space of 3 by 3 matrices. Multiply every matrix X in M by

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
(a) Which matrices X lead to AX = zero matrix?
(b) Which matrices have the form AX for some matrix X?
(a) finds the "nullspace" of that operation AX and (b) finds the "column space".
What are the dimensions of those two subspaces of M? Why do the dimensions add to(n-r)+r=9?
解：
（a）可以发生相乘一定是3*3矩阵，根据提示，只有矩阵里的同一列的数字都是相同的时候才能得到所有数字为0的矩阵
$$\begin{bmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ a & b & c \\ \end{bmatrix}$$
因为AX=0可以写成A乘X的每一列,既
$$A \begin{bmatrix} a \\ a \\ a \\ \end{bmatrix}+A\begin{bmatrix} b \\ b \\ b \\ \end{bmatrix}+A\begin{bmatrix} c \\ c \\ c \\ \end{bmatrix}=0$$
可以出现a=b=c
基为
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

（b）X是所有的3*3矩阵，AX=b，相当于求其列空间，跟据秩定理，该空间的秩为6，基有六个矩阵组成，类比向量作为基的情况，列空间就是A的线性组合，该空间有6个基

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
3*3矩阵的维数是9，本题中的零空间的维度是3，列空间的维度是6，显然等式成立。

31 Suppose the m by n matrices A and B have the same four subspaces. If they are both in row reduced echelon form, prove that F must equal G:

$$A=\begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \ \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} I & G \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
证明：即证明A=B。矩阵A和B拥有相同的基本子空间，就是说他们的行空间、列空间、零空间和左零空间都是相同的。

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修正：

• 满足行空间相同，行空间的基是相同的，因为这两个矩阵已经是简化阶梯型，所以A的行空间的基就是转置后的主元列，同理B也是一样，
  $$A=\begin{bmatrix} I & 0 \\ F & 0 \\ \end{bmatrix} \ \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} I & 0 \\ G & 0 \\ \end{bmatrix}$$
  要满足行空间的基一样，F一定等于G
• 左零空间的基相同，即A转置和B转置的零空间相同，A和B的列空间的秩为m，转置以后的列数为m，左零空间只有0向量，G和F取什么不影响这个空间
• 求列空间的基，把自由变量取零然后回代，F和G取什么是没有影响的
• 零空间求基，是把自由变量取1、 0回代，回代得到的方程组的解是相同的时候，基是相同的，因此这个方程组必须有相同的解，基的向量个数和向量的分量数相同，G和F有相同的行数和列数，得到的方程组必须是相同的，这个时候G=F

本来的想法：A=cB，Ax=cBx=Bcx=0，零空间是相同的，行空间的基是简化阶梯型的前r行，既行空间最佳的基。说明对应的每一行是要相同的。

答案