9-线性代数相关性、秩、基、维数

线代

线性相关性

如果Ax=0只有0解，那么该矩阵的各列线性无关，否则线性相关。就是说，如果其中的一列能被其他各列表示，就是线性相关的（很显然此时有非零解）。
当矩阵的给列线性无关时，就能作为生成空间的基。
设有一个m*n矩阵A（相当于解m个方程），当m （举个栗子3x+4y=0，理解为自由变量可以随便取，那么不管原来的解是什么自由变量都有办法让等式成立）
同样可以通过画图理解，把这些列向量画出来，可以看到其中一个向量会不会是别的向量的组合（二维空间尤其明显，一堆在同一个平面上的向量永远都只起到两个向量的作用，可以用这个来类比三维、四位空间【就是m 如果存在一列0向量，也是不可能无关的（0乘任何数都为0）。
这与N（A）有什么必然关系？如果该空间存在非0向量（有非0解，N（A）其实就是Ax=0的解的向量构成的空间），则是相关的，否则是无关的。

一种看法
从原定出发，加上某倍的v1、某倍的v2、某倍的v3，又能回到0点（就是说不只非零解了）

而线性相关时rank

当各列向量线性无关时可以构成整个空间吗？（看起来，R^3也是由三个线性无关的三维空间向量构成的）

在这里有一个问题，列空间和零空间画出来是什么关系（甚至猜他们是互补的，后面看来要复杂的多）

向量生成空间

我们说v1.v2......vn span a space
s包含了所有向量的线性组合，他们既能生成空间，本身又是线性无关的，在数量上不能过多也不能过少（过少了不能生成空间（两个三维向量是搞不成三维空间的）过多了线性相关了）

基

根据上文，一组基应该满足两个条件1.线性无关2.生成整个空间。（就是不要过多过少）

如何找到R^3空间的基

首先是标准基（最佳的基），即由三个单位向量组成
显然基是不为一的只要是任意三个线性无关的三维空间向量，都能作为基
四个三维空间向量可不可以构成四维空间？不可以，因为存在不能被这四个向量表示出的向量。
到底怎么找到基，先写出两个线性无关的向量，找到一个不在这两个平面上的第三个向量，就找到了一组基。

线性无关有什么要求？
化成最简，每一行都有非零主元。
要是一个可逆的方阵（不是方阵都不可逆）。

这个空间有很多很多的基，但是每组基的向量个数都是一样的。
例如R^n的基都含有n个向量。通过这个可以得到秩，然后得到维数。
我们只能说矩阵的秩和列空间的维数。

维数

假如A是一个3*4矩阵Ax=0，dimC(A)=2，将自由变量选0、1得到特解（就是0空间的基）这就告诉我们这些列如何才会线性相关。(0空间必须只有0向量)