列空间和零空间-6

线代

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二维空间中的一条不过原点的直线（一开始我认为他是一个子空间的），从原点引到这条直线上的向量，会看到这些向量都不属于这条直线，所以他不是一个子空间。正确的解释方法是一个向量的乘法封闭，所以乘0的时候也要属于这个子空间，显然这条直线并不满足条件。

一个子空间要满足的条件(v、w是向量)

cv，v+u,cv+dw（所有的线性组合）都属于这个子空间，既满足乘法封闭和加法封闭
一个子空间自己属于母空间又自己构成向量空间，是向量空间内的向量空间。
以三维空间为例，最简单的子空间就是他本身，还包括平面的子空间（P）和直线（L）的子空间，最特殊的是一个点。
P并L是一个子空间吗（如果不说L在P上的话）？答案是不是。
P交L是一个子空间。任意选两个向量既属于P也属于L，根据向量空间的向量的性质，这两个向量相加也属于L，同时也属于P，同理也满足其他两个条件。所以他们对P交L加法封闭和乘法封闭。（也可以理解为这个空间是一个比原来更小的空间）

矩阵的列空间

以下A矩阵为例

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\2 & 1 & 3 \\3 & 1 & 4 \\4&1&5 \\\end{bmatrix}$$
取这三列（这三列向量都是四维空间的向量，要构成四维空间至少要四个向量）的线性组合，A的列空间是R^4的子空间，可以得到R^4中的R^3子空间。这个子空间有多小，可以取到全解吗？答案是否定的。这里有四条方程和三个未知数，所以有一大堆的4维空间向量不能被该子空间表示。
设Ax=b,b取任意值的时候该矩阵都有解吗？显然不是（哪里显然了啊喂）。（如果是我的话把b看做一个四维空间（R^4他本身）的向量，取A各列的线性组合，观察是否有解能使这个等式成立，如果b不能取任意值的话这个子空间显然比R^4小）。

**取怎么样的b有解**
列向量本身
列向量的线性组合
0向量
还有吗？

一个更简单的找到b的方法，把解写出来再代回去。
观察这个矩阵，各列都线性无关吗？显然不是（这次很显然了）。所以在线性组合中只有两个列向量起作用（去掉某列得到相同的子空间，这个某一列就很考究了，你想去掉哪一列呢？），构成的空间是一个平面（是R^4中的二维子空间）。

令我困惑的一个问题，一个线性相关的矩阵，他的解和可以去掉的那一列......其实我是想说，可以去掉的那一列可以写成其他几列的线性组合，解也是那几列的线性组合......并不能混为一谈......

矩阵的零空间

把矩阵各行的方程写出来，看出了什么？（解方程，相交有解）

证明零空间是A的一个子空间
小黄书的做法：计算通解（基），这些向量怎么组合都在A中（是吗？）
CSLA Av=0 Aw=0   A（v+w）=0 A(12v)=0（很好证是不是？用到了矩阵乘法的分配率，人生苦短，证明免了）
如果我们把0换成了b（当时想的是不是平移了，在第8讲发现，是的,变成过该点的并不是子空间）
一条直线，一列一维，常数c乘一个向量