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@chawuciren 2018-11-18T15:09:39.000000Z 字数 1446 阅读 951

线性代数的一点总结

T 线代


点积和叉积(外积)

点积

假设有两个向量v,w。点积就是,既投影的乘机

叉积

理解为由一个向量的线性组合构成的子空间。(秩一矩阵)

一个二元一次方程组的立体几何解法和线性代数解法

立体几何

画一个坐标系,画两条线,这两条线的交点就是解。

线性代数解法

画两个向量,用这两个向量的线性组合来求解。

假如不是二元的,而是三元,四元呢?第一种方法变的很复杂,显然第二种方法会方便。

三元方程求解的几何理解

每一个方程画出一个平面,两个平面交于一条直线,三个平面或许会交于同一点(或者一条直线)。
线性代数就看三个列向量(第一个的几倍加上第二个的几倍......)的组合了。

矩阵乘法

A是n×m矩阵B是m×p矩阵,结果是n×p矩阵。
只有A的列等于B的行的时候,才能相乘。
计算公式为(求和)。
可以表示为:
用上面那条公式,将结果矩阵中的元素全部写出。
A乘B的每一列。
将A的列转为行表示,再相乘。(不是太懂)

消元

如果将消元了的矩阵再写成方程组的形式,可以发现和原来的方程组在坐标系上的图像不同了(废话,方程都不同了)

消元矩阵

表示消掉位置21的元。
(喵喵喵?)
的作用:对b消元。

消元矩阵的逆

无解的情况

假设还是两个方程,如果这两个方程不相交,当然就没解了。
还有一种情况是重合,所有的线上的点都是解。

置换

该矩阵的逆是他本身,转置也是他本身。
这样理解,将这两行交换,我再交换一次就换回来了。
为什么在之前没有考虑行交换?

矩阵的运算


线性理解:
只要满足M(a+b)=Ma+Mb;M(sa)=aMa
只要是线性变换,就存在一个矩阵M,变换以后在一个space
常数c=变换/原像。
变换以后点与点的距离是不变的。(记得小黄书说所有矩阵变换都是线性的来着)
该变化就是线性的
什么不是线性的?扭曲(平方的也不是R->R^2)。
第五版的根号长度

怎么理解R^3->R^2是线性的

就是二维空间的投影。

块乘


证明

得证
求逆:对[A I]进行化简,证明为什么可行
证明:对A进行化简的同时,相当于对I进行了逆操作(?)
第二种方法是E[A I]左乘一个矩阵E,得到E[I A^(-1)],将A和I分开来看

那么I=......
EF
(EF)^(-1)构造涉及


11.18更新

奇异

如果方块矩阵A满足|A|det(A)!=0,就是非奇异矩阵,否则就是奇异矩阵

LU分解

A=LU
A消元得到U,所有消元操作的逆操作写成矩阵的形式就是L

涉及到
明明LU分解复杂为什么用LU分解,因为计算机要用到

LDU

(L)U->DU
[Lb]=>C=Ux前代
[Uc]=>x回代

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