11-矩阵空间、秩一矩阵

线代

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矩阵空间

M为所有3*3矩阵（举个3*3例子）
他的子空间有什么呢？
1.对称矩阵
2.上三角矩阵
3.对角矩阵
这个空间的基向量一共有9个（把一个全是0的三乘三矩阵从第一行第一列开始写1，每个向量只有一个1.......）

难以理解的一个地方：这是个怎么样的空间？（还有矩阵为什么可以作为向量？）
按照向量空间的定义，满足加法乘法封闭，包括了0向量......
尝试写几个矩阵进行加减和数乘运算，满足了以上条件（好吧我接受他是个子空间了）
但是这个空间是个什么样子呢......

1.对称矩阵的基有6个向量（S）
2.上三角矩阵的基有6个向量（U）
3.对角矩阵的基有3个向量（前两个的交集）
我怎么知道有几个呢，从M的九个基里找，如果加起来刚好是某个矩阵，就是基了。对，没错，就是矩阵加法。
S∩U=diagond 3*3
d(S∩U)=3
SUU不是一个子空间（并和加？？？ [1] ），就像一条直线插在一个平面上（哪里不对......）
但是S+U是
S的任一元素，加上U的任意元素得到所有的3*3矩阵

一开始想类比向量加向量和空间并空间，一条直线插在一个平面上的情况，前面说了是并了吧......但是空间相加是什么情况？

一条重要的等式：6+6=3+9（代表了什么都在上文了，这个和概率的交集那条真像......）

线性微分方程

d^2 y/d x^2 +y=0
这条方程的基是cos x和sin x（e^(ix),听说不讨论......）
y=c1cos x+c2 sin x
秩为2

秩一方程

A

$$\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\2 & 8 & 10 \\\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\\end{bmatrix}$$

如上，可以写成一列乘一行的形式

A=uv^T就是一列乘一行，u是列向量，v也是列向量，用v的转置表示一个行向量

有一个5*17的秩4矩阵，分解成4个秩一矩阵的组合（就是说，基有四个向量，我把每个基写成一个秩一矩阵，其他的线性组合就好了）
那么秩4空间的子集是一个子空间吗？就是说，两个秩4矩阵相加还是秩4矩阵吗？显然是不可能了（所以说哪里显然......）最多可以达到秩8，会不会变小？（本来都秩4了不可能变小了，就是说，已经有四个向量线性无关的话......）
Realy?

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0&0\\0 & 1 & 0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1 & 0&0\\1 & 0 & 0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0&0\\1 & 1 & 0&0\\1&1&2&0\\1&1&0&2 \\\end{bmatrix}$$
正确性有待验证

求矩阵空间的四个基本子空间

0空间

R^4空间的每一个向量都有四个分量
v=[v1 v2 v3 v4](这是一列)
（假设各分量之和为0）的（所有向量）构成的集合
v1+v2+v3+v4=0
这些向量能否构成子空间？
取这样的一个向量乘6，分量之和还是0，v+w也还是0
Av=0 A=[1 1 1 1](行)（这就是0空间的向量）
求空间S就等价于求A的0空间

分量是什么？我听到的是一个向量的每一个元素（每一个数字）（不太准确的描述）
谷歌一下......
定义4.1.1 数域F上n个数a1，a2，…，an 组成的有序数组α= ,称为一个（F上的）n维向量（有时也简称向量）．数ai 叫α的第i个分量．常用小写的希腊字母α，β等表示一个向量．向量α也可以写成（a1，a2，…，an）．这样写的向量称为行向量，定义中写的向量称为列向量．作为向量它们被认为是一样的．(来自123我就是哎你 )
看起来没理解错

A的列空间r=1；n-r=3（是零空间的秩），零空间的基就很好求了
具体的看这里
A的行空间是一维的，左零空间是零空间

小世界(六度理论)

什么是“图”
在一个平面上有几个点，这些点通过边链接起来，从一个点到另一个点有几个点的距离。
比如一个图有5个节点6条边，可以用一个5*6矩阵表示。
你和一个人的联系不会超过6个人。（你会发现，这个世界真小，这就是小世界）
点是网站，边是网络链接。